Производная 1/sin(x)+cos(x)

Вы ввели

  1            
------ + cos(x)
sin(x)         

$$\cos{\left (x \right )} + \frac{1}{\sin{\left (x \right )}}$$

Подробное решение

1. дифференцируем $\cos{\left (x \right )} + \frac{1}{\sin{\left (x \right )}}$ почленно:

   1. Заменим $u = \sin{\left (x \right )}$.

   2. В силу правила, применим: $\frac{1}{u}$ получим $- \frac{1}{u^{2}}$

   3. Затем примените цепочку правил. Умножим на $\frac{d}{d x} \sin{\left (x \right )}$:

      1. Производная синуса есть косинус:

         $\frac{d}{d x} \sin{\left (x \right )} = \cos{\left (x \right )}$

      В результате последовательности правил:

      $- \frac{\cos{\left (x \right )}}{\sin^{2}{\left (x \right )}}$

   4. Производная косинус есть минус синус:

      $\frac{d}{d x} \cos{\left (x \right )} = - \sin{\left (x \right )}$

   В результате: $- \sin{\left (x \right )} - \frac{\cos{\left (x \right )}}{\sin^{2}{\left (x \right )}}$

---

Ответ:

$- \sin{\left (x \right )} - \frac{\cos{\left (x \right )}}{\sin^{2}{\left (x \right )}}$

Первая производная

           cos(x)
-sin(x) - -------
             2   
          sin (x)

$$- \sin{\left (x \right )} - \frac{\cos{\left (x \right )}}{\sin^{2}{\left (x \right )}}$$

Вторая производная

                       2   
  1               2*cos (x)
------ - cos(x) + ---------
sin(x)                3    
                   sin (x) 

$$- \cos{\left (x \right )} + \frac{1}{\sin{\left (x \right )}} + \frac{2 \cos^{2}{\left (x \right )}}{\sin^{3}{\left (x \right )}}$$

Третья производная

       3                       
  6*cos (x)   5*cos(x)         
- --------- - -------- + sin(x)
      4          2             
   sin (x)    sin (x)          

$$\sin{\left (x \right )} - \frac{5 \cos{\left (x \right )}}{\sin^{2}{\left (x \right )}} - \frac{6 \cos^{3}{\left (x \right )}}{\sin^{4}{\left (x \right )}}$$