Производная 1/sin(x)^4

Вы ввели

   1   
-------
   4   
sin (x)

$$\frac{1}{\sin^{4}{\left (x \right )}}$$

Подробное решение

1. Заменим $u = \sin^{4}{\left (x \right )}$.

2. В силу правила, применим: $\frac{1}{u}$ получим $- \frac{1}{u^{2}}$

3. Затем примените цепочку правил. Умножим на $\frac{d}{d x} \sin^{4}{\left (x \right )}$:

   1. Заменим $u = \sin{\left (x \right )}$.

   2. В силу правила, применим: $u^{4}$ получим $4 u^{3}$

   3. Затем примените цепочку правил. Умножим на $\frac{d}{d x} \sin{\left (x \right )}$:

      1. Производная синуса есть косинус:

         $\frac{d}{d x} \sin{\left (x \right )} = \cos{\left (x \right )}$

      В результате последовательности правил:

      $4 \sin^{3}{\left (x \right )} \cos{\left (x \right )}$

   В результате последовательности правил:

   $- \frac{4 \cos{\left (x \right )}}{\sin^{5}{\left (x \right )}}$

---

Ответ:

$- \frac{4 \cos{\left (x \right )}}{\sin^{5}{\left (x \right )}}$

Первая производная

  -4*cos(x)   
--------------
          4   
sin(x)*sin (x)

$$- \frac{4 \cos{\left (x \right )}}{\sin^{5}{\left (x \right )}}$$

Вторая производная

  /         2   \
  |    5*cos (x)|
4*|1 + ---------|
  |        2    |
  \     sin (x) /
-----------------
        4        
     sin (x)     

$$\frac{1}{\sin^{4}{\left (x \right )}} \left(4 + \frac{20 \cos^{2}{\left (x \right )}}{\sin^{2}{\left (x \right )}}\right)$$

Третья производная

   /          2   \       
   |    15*cos (x)|       
-8*|7 + ----------|*cos(x)
   |        2     |       
   \     sin (x)  /       
--------------------------
            5             
         sin (x)          

$$- \frac{8 \cos{\left (x \right )}}{\sin^{5}{\left (x \right )}} \left(7 + \frac{15 \cos^{2}{\left (x \right )}}{\sin^{2}{\left (x \right )}}\right)$$