Производная 1/sin(x)^(5)

Вы ввели

   1   
-------
   5   
sin (x)

$$\frac{1}{\sin^{5}{\left (x \right )}}$$

Подробное решение

1. Заменим $u = \sin^{5}{\left (x \right )}$.

2. В силу правила, применим: $\frac{1}{u}$ получим $- \frac{1}{u^{2}}$

3. Затем примените цепочку правил. Умножим на $\frac{d}{d x} \sin^{5}{\left (x \right )}$:

   1. Заменим $u = \sin{\left (x \right )}$.

   2. В силу правила, применим: $u^{5}$ получим $5 u^{4}$

   3. Затем примените цепочку правил. Умножим на $\frac{d}{d x} \sin{\left (x \right )}$:

      1. Производная синуса есть косинус:

         $\frac{d}{d x} \sin{\left (x \right )} = \cos{\left (x \right )}$

      В результате последовательности правил:

      $5 \sin^{4}{\left (x \right )} \cos{\left (x \right )}$

   В результате последовательности правил:

   $- \frac{5 \cos{\left (x \right )}}{\sin^{6}{\left (x \right )}}$

---

Ответ:

$- \frac{5 \cos{\left (x \right )}}{\sin^{6}{\left (x \right )}}$

Первая производная

  -5*cos(x)   
--------------
          5   
sin(x)*sin (x)

$$- \frac{5 \cos{\left (x \right )}}{\sin^{6}{\left (x \right )}}$$

Вторая производная

  /         2   \
  |    6*cos (x)|
5*|1 + ---------|
  |        2    |
  \     sin (x) /
-----------------
        5        
     sin (x)     

$$\frac{1}{\sin^{5}{\left (x \right )}} \left(5 + \frac{30 \cos^{2}{\left (x \right )}}{\sin^{2}{\left (x \right )}}\right)$$

Третья производная

   /           2   \       
   |     42*cos (x)|       
-5*|17 + ----------|*cos(x)
   |         2     |       
   \      sin (x)  /       
---------------------------
             6             
          sin (x)          

$$- \frac{5 \cos{\left (x \right )}}{\sin^{6}{\left (x \right )}} \left(17 + \frac{42 \cos^{2}{\left (x \right )}}{\sin^{2}{\left (x \right )}}\right)$$