Производная 1/tan(5*x)

Вы ввели

   1    
--------
tan(5*x)

$$\frac{1}{\tan{\left (5 x \right )}}$$

Подробное решение

1. Заменим $u = \tan{\left (5 x \right )}$.

2. В силу правила, применим: $\frac{1}{u}$ получим $- \frac{1}{u^{2}}$

3. Затем примените цепочку правил. Умножим на $\frac{d}{d x} \tan{\left (5 x \right )}$:

   1. Есть несколько способов вычислить эту производную.

      Один из способов:

      1. Заменим $u = 5 x$.

      2. $\frac{d}{d u} \tan{\left (u \right )} = \frac{1}{\cos^{2}{\left (u \right )}}$

      3. Затем примените цепочку правил. Умножим на $\frac{d}{d x}\left(5 x\right)$:

         1. Производная произведения константы на функцию есть произведение этой константы на производную данной функции.

            1. В силу правила, применим: $x$ получим $1$

            Таким образом, в результате: $5$

         В результате последовательности правил:

         $\frac{5}{\cos^{2}{\left (5 x \right )}}$

   В результате последовательности правил:

   $- \frac{5 \sin^{2}{\left (5 x \right )} + 5 \cos^{2}{\left (5 x \right )}}{\cos^{2}{\left (5 x \right )} \tan^{2}{\left (5 x \right )}}$

4. Теперь упростим:

   $- \frac{5}{\sin^{2}{\left (5 x \right )}}$

---

Ответ:

$- \frac{5}{\sin^{2}{\left (5 x \right )}}$

Первая производная

          2     
-5 - 5*tan (5*x)
----------------
      2         
   tan (5*x)    

$$\frac{- 5 \tan^{2}{\left (5 x \right )} - 5}{\tan^{2}{\left (5 x \right )}}$$

Вторая производная

                   /            2     \
   /       2     \ |     1 + tan (5*x)|
50*\1 + tan (5*x)/*|-1 + -------------|
                   |          2       |
                   \       tan (5*x)  /
---------------------------------------
                tan(5*x)               

$$\frac{50}{\tan{\left (5 x \right )}} \left(\frac{\tan^{2}{\left (5 x \right )} + 1}{\tan^{2}{\left (5 x \right )}} - 1\right) \left(\tan^{2}{\left (5 x \right )} + 1\right)$$

Третья производная

    /                                    3                    2\
    |                     /       2     \      /       2     \ |
    |          2        3*\1 + tan (5*x)/    5*\1 + tan (5*x)/ |
250*|-2 - 2*tan (5*x) - ------------------ + ------------------|
    |                          4                    2          |
    \                       tan (5*x)            tan (5*x)     /

$$250 \left(- \frac{3 \left(\tan^{2}{\left (5 x \right )} + 1\right)^{3}}{\tan^{4}{\left (5 x \right )}} + \frac{5 \left(\tan^{2}{\left (5 x \right )} + 1\right)^{2}}{\tan^{2}{\left (5 x \right )}} - 2 \tan^{2}{\left (5 x \right )} - 2\right)$$