Производная 1/(tan(x))^2

Вы ввели

   1   
-------
   2   
tan (x)

$$\frac{1}{\tan^{2}{\left (x \right )}}$$

Подробное решение

1. Заменим $u = \tan^{2}{\left (x \right )}$.

2. В силу правила, применим: $\frac{1}{u}$ получим $- \frac{1}{u^{2}}$

3. Затем примените цепочку правил. Умножим на $\frac{d}{d x} \tan^{2}{\left (x \right )}$:

   1. Заменим $u = \tan{\left (x \right )}$.

   2. В силу правила, применим: $u^{2}$ получим $2 u$

   3. Затем примените цепочку правил. Умножим на $\frac{d}{d x} \tan{\left (x \right )}$:

      1. Есть несколько способов вычислить эту производную.

         Один из способов:

         1. $\frac{d}{d x} \tan{\left (x \right )} = \frac{1}{\cos^{2}{\left (x \right )}}$

      В результате последовательности правил:

      $\frac{2 \tan{\left (x \right )}}{\cos^{2}{\left (x \right )}} \left(\sin^{2}{\left (x \right )} + \cos^{2}{\left (x \right )}\right)$

   В результате последовательности правил:

   $- \frac{2 \sin^{2}{\left (x \right )} + 2 \cos^{2}{\left (x \right )}}{\cos^{2}{\left (x \right )} \tan^{3}{\left (x \right )}}$

4. Теперь упростим:

   $- \frac{2 \cos{\left (x \right )}}{\sin^{3}{\left (x \right )}}$

---

Ответ:

$- \frac{2 \cos{\left (x \right )}}{\sin^{3}{\left (x \right )}}$

Первая производная

 /         2   \ 
-\2 + 2*tan (x)/ 
-----------------
            2    
  tan(x)*tan (x) 

$$- \frac{2 \tan^{2}{\left (x \right )} + 2}{\tan^{3}{\left (x \right )}}$$

Вторая производная

                /       /       2   \\
  /       2   \ |     3*\1 + tan (x)/|
2*\1 + tan (x)/*|-2 + ---------------|
                |            2       |
                \         tan (x)    /
--------------------------------------
                  2                   
               tan (x)                

$$\frac{2}{\tan^{2}{\left (x \right )}} \left(\frac{3 \tan^{2}{\left (x \right )} + 3}{\tan^{2}{\left (x \right )}} - 2\right) \left(\tan^{2}{\left (x \right )} + 1\right)$$

Третья производная

                /                    2                  \
                |       /       2   \      /       2   \|
  /       2   \ |     3*\1 + tan (x)/    4*\1 + tan (x)/|
8*\1 + tan (x)/*|-1 - ---------------- + ---------------|
                |            4                  2       |
                \         tan (x)            tan (x)    /
---------------------------------------------------------
                          tan(x)                         

$$\frac{8}{\tan{\left (x \right )}} \left(\tan^{2}{\left (x \right )} + 1\right) \left(- \frac{3 \left(\tan^{2}{\left (x \right )} + 1\right)^{2}}{\tan^{4}{\left (x \right )}} + \frac{4 \tan^{2}{\left (x \right )} + 4}{\tan^{2}{\left (x \right )}} - 1\right)$$

График