Производная 1/x/log(x)

Вы ввели

   1    
--------
x*log(x)

$$\frac{1}{x \log{\left (x \right )}}$$

Подробное решение

1. Применим правило производной частного:

   $\frac{d}{d x}\left(\frac{f{\left (x \right )}}{g{\left (x \right )}}\right) = \frac{1}{g^{2}{\left (x \right )}} \left(- f{\left (x \right )} \frac{d}{d x} g{\left (x \right )} + g{\left (x \right )} \frac{d}{d x} f{\left (x \right )}\right)$

   $f{\left (x \right )} = 1$ и $g{\left (x \right )} = x \log{\left (x \right )}$.

   Чтобы найти $\frac{d}{d x} f{\left (x \right )}$:

   1. Производная постоянной $1$ равна нулю.

   Чтобы найти $\frac{d}{d x} g{\left (x \right )}$:

   1. Применяем правило производной умножения:

      $\frac{d}{d x}\left(f{\left (x \right )} g{\left (x \right )}\right) = f{\left (x \right )} \frac{d}{d x} g{\left (x \right )} + g{\left (x \right )} \frac{d}{d x} f{\left (x \right )}$

      $f{\left (x \right )} = x$; найдём $\frac{d}{d x} f{\left (x \right )}$:

      1. В силу правила, применим: $x$ получим $1$

      $g{\left (x \right )} = \log{\left (x \right )}$; найдём $\frac{d}{d x} g{\left (x \right )}$:

      1. Производная $\log{\left (x \right )}$ является $\frac{1}{x}$.

      В результате: $\log{\left (x \right )} + 1$

   Теперь применим правило производной деления:

   $\frac{- \log{\left (x \right )} - 1}{x^{2} \log^{2}{\left (x \right )}}$

2. Теперь упростим:

   $- \frac{\log{\left (x \right )} + 1}{x^{2} \log^{2}{\left (x \right )}}$

---

Ответ:

$- \frac{\log{\left (x \right )} + 1}{x^{2} \log^{2}{\left (x \right )}}$

Первая производная

      1           1     
- --------- - ----------
   2           2    2   
  x *log(x)   x *log (x)

$$- \frac{1}{x^{2} \log{\left (x \right )}} - \frac{1}{x^{2} \log^{2}{\left (x \right )}}$$

Вторая производная

       2        3   
2 + ------- + ------
       2      log(x)
    log (x)         
--------------------
      3             
     x *log(x)      

$$\frac{1}{x^{3} \log{\left (x \right )}} \left(2 + \frac{3}{\log{\left (x \right )}} + \frac{2}{\log^{2}{\left (x \right )}}\right)$$

Третья производная

 /       6        11        12  \ 
-|6 + ------- + ------ + -------| 
 |       3      log(x)      2   | 
 \    log (x)            log (x)/ 
----------------------------------
             4                    
            x *log(x)             

$$- \frac{1}{x^{4} \log{\left (x \right )}} \left(6 + \frac{11}{\log{\left (x \right )}} + \frac{12}{\log^{2}{\left (x \right )}} + \frac{6}{\log^{3}{\left (x \right )}}\right)$$