Производная 1/(x-log(x))

Вы ввели

    1     
----------
x - log(x)

$$\frac{1}{x - \log{\left (x \right )}}$$

Подробное решение

1. Заменим $u = x - \log{\left (x \right )}$.

2. В силу правила, применим: $\frac{1}{u}$ получим $- \frac{1}{u^{2}}$

3. Затем примените цепочку правил. Умножим на $\frac{d}{d x}\left(x - \log{\left (x \right )}\right)$:

   1. дифференцируем $x - \log{\left (x \right )}$ почленно:

      1. В силу правила, применим: $x$ получим $1$

      2. Производная произведения константы на функцию есть произведение этой константы на производную данной функции.

         1. Производная $\log{\left (x \right )}$ является $\frac{1}{x}$.

         Таким образом, в результате: $- \frac{1}{x}$

      В результате: $1 - \frac{1}{x}$

   В результате последовательности правил:

   $- \frac{1 - \frac{1}{x}}{\left(x - \log{\left (x \right )}\right)^{2}}$

4. Теперь упростим:

   $\frac{- x + 1}{x \left(x - \log{\left (x \right )}\right)^{2}}$

---

Ответ:

$\frac{- x + 1}{x \left(x - \log{\left (x \right )}\right)^{2}}$

Первая производная

         1   
    -1 + -   
         x   
-------------
            2
(x - log(x)) 

$$\frac{-1 + \frac{1}{x}}{\left(x - \log{\left (x \right )}\right)^{2}}$$

Вторая производная

                2
         /    1\ 
       2*|1 - -| 
  1      \    x/ 
- -- + ----------
   2   x - log(x)
  x              
-----------------
              2  
  (x - log(x))   

$$\frac{\frac{2 \left(1 - \frac{1}{x}\right)^{2}}{x - \log{\left (x \right )}} - \frac{1}{x^{2}}}{\left(x - \log{\left (x \right )}\right)^{2}}$$

Третья производная

  /                3                   \
  |         /    1\          /    1\   |
  |       3*|1 - -|        3*|1 - -|   |
  |1        \    x/          \    x/   |
2*|-- - ------------- + ---------------|
  | 3               2    2             |
  \x    (x - log(x))    x *(x - log(x))/
----------------------------------------
                         2              
             (x - log(x))               

$$\frac{1}{\left(x - \log{\left (x \right )}\right)^{2}} \left(- \frac{6 \left(1 - \frac{1}{x}\right)^{3}}{\left(x - \log{\left (x \right )}\right)^{2}} + \frac{6 - \frac{6}{x}}{x^{2} \left(x - \log{\left (x \right )}\right)} + \frac{2}{x^{3}}\right)$$