Производная 1/(x-sin(x))

Вы ввели

    1     
----------
x - sin(x)

$$\frac{1}{x - \sin{\left (x \right )}}$$

Подробное решение

1. Заменим $u = x - \sin{\left (x \right )}$.

2. В силу правила, применим: $\frac{1}{u}$ получим $- \frac{1}{u^{2}}$

3. Затем примените цепочку правил. Умножим на $\frac{d}{d x}\left(x - \sin{\left (x \right )}\right)$:

   1. дифференцируем $x - \sin{\left (x \right )}$ почленно:

      1. В силу правила, применим: $x$ получим $1$

      2. Производная произведения константы на функцию есть произведение этой константы на производную данной функции.

         1. Производная синуса есть косинус:

            $\frac{d}{d x} \sin{\left (x \right )} = \cos{\left (x \right )}$

         Таким образом, в результате: $- \cos{\left (x \right )}$

      В результате: $- \cos{\left (x \right )} + 1$

   В результате последовательности правил:

   $- \frac{- \cos{\left (x \right )} + 1}{\left(x - \sin{\left (x \right )}\right)^{2}}$

4. Теперь упростим:

   $\frac{\cos{\left (x \right )} - 1}{\left(x - \sin{\left (x \right )}\right)^{2}}$

---

Ответ:

$\frac{\cos{\left (x \right )} - 1}{\left(x - \sin{\left (x \right )}\right)^{2}}$

Первая производная

 -1 + cos(x) 
-------------
            2
(x - sin(x)) 

$$\frac{\cos{\left (x \right )} - 1}{\left(x - \sin{\left (x \right )}\right)^{2}}$$

Вторая производная

                         2
          2*(-1 + cos(x)) 
-sin(x) + ----------------
             x - sin(x)   
--------------------------
                  2       
      (x - sin(x))        

$$\frac{1}{\left(x - \sin{\left (x \right )}\right)^{2}} \left(- \sin{\left (x \right )} + \frac{2 \left(\cos{\left (x \right )} - 1\right)^{2}}{x - \sin{\left (x \right )}}\right)$$

Третья производная

                         3                         
          6*(-1 + cos(x))    6*(-1 + cos(x))*sin(x)
-cos(x) + ---------------- - ----------------------
                       2           x - sin(x)      
           (x - sin(x))                            
---------------------------------------------------
                               2                   
                   (x - sin(x))                    

$$\frac{1}{\left(x - \sin{\left (x \right )}\right)^{2}} \left(- \cos{\left (x \right )} - \frac{6 \left(\cos{\left (x \right )} - 1\right) \sin{\left (x \right )}}{x - \sin{\left (x \right )}} + \frac{6 \left(\cos{\left (x \right )} - 1\right)^{3}}{\left(x - \sin{\left (x \right )}\right)^{2}}\right)$$