Производная 1/(x+log(x))

Вы ввели

    1     
----------
x + log(x)

$$\frac{1}{x + \log{\left (x \right )}}$$

Подробное решение

1. Заменим $u = x + \log{\left (x \right )}$.

2. В силу правила, применим: $\frac{1}{u}$ получим $- \frac{1}{u^{2}}$

3. Затем примените цепочку правил. Умножим на $\frac{d}{d x}\left(x + \log{\left (x \right )}\right)$:

   1. дифференцируем $x + \log{\left (x \right )}$ почленно:

      1. В силу правила, применим: $x$ получим $1$

      2. Производная $\log{\left (x \right )}$ является $\frac{1}{x}$.

      В результате: $1 + \frac{1}{x}$

   В результате последовательности правил:

   $- \frac{1 + \frac{1}{x}}{\left(x + \log{\left (x \right )}\right)^{2}}$

4. Теперь упростим:

   $- \frac{x + 1}{x \left(x + \log{\left (x \right )}\right)^{2}}$

---

Ответ:

$- \frac{x + 1}{x \left(x + \log{\left (x \right )}\right)^{2}}$

Первая производная

         1   
    -1 - -   
         x   
-------------
            2
(x + log(x)) 

$$\frac{-1 - \frac{1}{x}}{\left(x + \log{\left (x \right )}\right)^{2}}$$

Вторая производная

              2
       /    1\ 
     2*|1 + -| 
1      \    x/ 
-- + ----------
 2   x + log(x)
x              
---------------
             2 
 (x + log(x))  

$$\frac{\frac{2 \left(1 + \frac{1}{x}\right)^{2}}{x + \log{\left (x \right )}} + \frac{1}{x^{2}}}{\left(x + \log{\left (x \right )}\right)^{2}}$$

Третья производная

   /                3                   \
   |         /    1\          /    1\   |
   |       3*|1 + -|        3*|1 + -|   |
   |1        \    x/          \    x/   |
-2*|-- + ------------- + ---------------|
   | 3               2    2             |
   \x    (x + log(x))    x *(x + log(x))/
-----------------------------------------
                          2              
              (x + log(x))               

$$- \frac{1}{\left(x + \log{\left (x \right )}\right)^{2}} \left(\frac{6 \left(1 + \frac{1}{x}\right)^{3}}{\left(x + \log{\left (x \right )}\right)^{2}} + \frac{6 + \frac{6}{x}}{x^{2} \left(x + \log{\left (x \right )}\right)} + \frac{2}{x^{3}}\right)$$