Производная 1/(x+x^2)

Вы ввели

  1   
------
     2
x + x 

$$\frac{1}{x^{2} + x}$$

Подробное решение

1. Заменим $u = x^{2} + x$.

2. В силу правила, применим: $\frac{1}{u}$ получим $- \frac{1}{u^{2}}$

3. Затем примените цепочку правил. Умножим на $\frac{d}{d x}\left(x^{2} + x\right)$:

   1. дифференцируем $x^{2} + x$ почленно:

      1. В силу правила, применим: $x$ получим $1$

      2. В силу правила, применим: $x^{2}$ получим $2 x$

      В результате: $2 x + 1$

   В результате последовательности правил:

   $- \frac{2 x + 1}{\left(x^{2} + x\right)^{2}}$

4. Теперь упростим:

   $- \frac{2 x + 1}{x^{2} \left(x + 1\right)^{2}}$

---

Ответ:

$- \frac{2 x + 1}{x^{2} \left(x + 1\right)^{2}}$

Первая производная

 -1 - 2*x
---------
        2
/     2\ 
\x + x / 

$$\frac{- 2 x - 1}{\left(x^{2} + x\right)^{2}}$$

Вторая производная

  /              2\
  |     (1 + 2*x) |
2*|-1 + ----------|
  \     x*(1 + x) /
-------------------
     2        2    
    x *(1 + x)     

$$\frac{1}{x^{2} \left(x + 1\right)^{2}} \left(-2 + \frac{2 \left(2 x + 1\right)^{2}}{x \left(x + 1\right)}\right)$$

Третья производная

            /             2\
            |    (1 + 2*x) |
6*(1 + 2*x)*|2 - ----------|
            \    x*(1 + x) /
----------------------------
         3        3         
        x *(1 + x)          

$$\frac{6}{x^{3} \left(x + 1\right)^{3}} \left(2 - \frac{\left(2 x + 1\right)^{2}}{x \left(x + 1\right)}\right) \left(2 x + 1\right)$$