Производная 1/(x+x^3)

Вы ввели

  1   
------
     3
x + x 

$$\frac{1}{x^{3} + x}$$

Подробное решение

1. Заменим $u = x^{3} + x$.

2. В силу правила, применим: $\frac{1}{u}$ получим $- \frac{1}{u^{2}}$

3. Затем примените цепочку правил. Умножим на $\frac{d}{d x}\left(x^{3} + x\right)$:

   1. дифференцируем $x^{3} + x$ почленно:

      1. В силу правила, применим: $x$ получим $1$

      2. В силу правила, применим: $x^{3}$ получим $3 x^{2}$

      В результате: $3 x^{2} + 1$

   В результате последовательности правил:

   $- \frac{3 x^{2} + 1}{\left(x^{3} + x\right)^{2}}$

4. Теперь упростим:

   $- \frac{3 x^{2} + 1}{x^{2} \left(x^{2} + 1\right)^{2}}$

---

Ответ:

$- \frac{3 x^{2} + 1}{x^{2} \left(x^{2} + 1\right)^{2}}$

Первая производная

        2
-1 - 3*x 
---------
        2
/     3\ 
\x + x / 

$$\frac{- 3 x^{2} - 1}{\left(x^{3} + x\right)^{2}}$$

Вторая производная

  /               2\
  |     /       2\ |
  |     \1 + 3*x / |
2*|-3 + -----------|
  |      2 /     2\|
  \     x *\1 + x //
--------------------
              2     
      /     2\      
    x*\1 + x /      

$$\frac{1}{x \left(x^{2} + 1\right)^{2}} \left(-6 + \frac{2 \left(3 x^{2} + 1\right)^{2}}{x^{2} \left(x^{2} + 1\right)}\right)$$

Третья производная

  /                              3 \
  |       /       2\   /       2\  |
  |     6*\1 + 3*x /   \1 + 3*x /  |
6*|-1 + ------------ - ------------|
  |             2                 2|
  |        1 + x        2 /     2\ |
  \                    x *\1 + x / /
------------------------------------
                       2            
             2 /     2\             
            x *\1 + x /             

$$\frac{1}{x^{2} \left(x^{2} + 1\right)^{2}} \left(-6 + \frac{108 x^{2} + 36}{x^{2} + 1} - \frac{6 \left(3 x^{2} + 1\right)^{3}}{x^{2} \left(x^{2} + 1\right)^{2}}\right)$$