Производная 1/(x*e^x)

Вы ввели

 1  
----
   x
x*E 

$$\frac{1}{e^{x} x}$$

Подробное решение

1. Заменим $u = e^{x} x$.

2. В силу правила, применим: $\frac{1}{u}$ получим $- \frac{1}{u^{2}}$

3. Затем примените цепочку правил. Умножим на $\frac{d}{d x}\left(e^{x} x\right)$:

   1. Применяем правило производной умножения:

      $\frac{d}{d x}\left(f{\left (x \right )} g{\left (x \right )}\right) = f{\left (x \right )} \frac{d}{d x} g{\left (x \right )} + g{\left (x \right )} \frac{d}{d x} f{\left (x \right )}$

      $f{\left (x \right )} = x$; найдём $\frac{d}{d x} f{\left (x \right )}$:

      1. В силу правила, применим: $x$ получим $1$

      $g{\left (x \right )} = e^{x}$; найдём $\frac{d}{d x} g{\left (x \right )}$:

      1. Производная $e^{x}$ само оно.

      В результате: $e^{x} + x e^{x}$

   В результате последовательности правил:

   $- \frac{1}{x^{2}} \left(e^{x} + x e^{x}\right) e^{- 2 x}$

4. Теперь упростим:

   $- \frac{e^{- x}}{x^{2}} \left(x + 1\right)$

---

Ответ:

$- \frac{e^{- x}}{x^{2}} \left(x + 1\right)$

Первая производная

 -x                  
e   /   x      x\  -x
---*\- e  - x*e /*e  
 x                   
---------------------
          x          

$$\frac{\frac{1}{x}}{x} \left(- x e^{x} - e^{x}\right) e^{- 2 x}$$

Вторая производная

/     1 + x           /    1\\  -x
|-1 + ----- + (1 + x)*|1 + -||*e  
\       x             \    x//    
----------------------------------
                 2                
                x                 

$$\frac{e^{- x}}{x^{2}} \left(\left(1 + \frac{1}{x}\right) \left(x + 1\right) - 1 + \frac{1}{x} \left(x + 1\right)\right)$$

Третья производная

/                                                                                                           /    1\\    
|                                                                                                   (1 + x)*|1 + -||    
|    /    1\                   /    1\           /    2   2 \   4*(1 + x)   3*(1 + x)   3*(2 + x)           \    x/|  -x
|1 + |1 + -|*(2 + x) - (1 + x)*|1 + -| - (1 + x)*|1 + - + --| - --------- - --------- + --------- - ---------------|*e  
|    \    x/                   \    x/           |    x    2|       x            2          x              x       |    
\                                                \        x /                   x                                  /    
------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
                                                            2                                                           
                                                           x                                                            

$$\frac{e^{- x}}{x^{2}} \left(- \left(1 + \frac{1}{x}\right) \left(x + 1\right) + \left(1 + \frac{1}{x}\right) \left(x + 2\right) - \left(x + 1\right) \left(1 + \frac{2}{x} + \frac{2}{x^{2}}\right) + 1 - \frac{1}{x} \left(1 + \frac{1}{x}\right) \left(x + 1\right) - \frac{1}{x} \left(4 x + 4\right) + \frac{1}{x} \left(3 x + 6\right) - \frac{1}{x^{2}} \left(3 x + 3\right)\right)$$