Производная 1/(x*log(x))

Вы ввели

   1    
--------
x*log(x)

$$\frac{1}{x \log{\left (x \right )}}$$

Подробное решение

1. Заменим $u = x \log{\left (x \right )}$.

2. В силу правила, применим: $\frac{1}{u}$ получим $- \frac{1}{u^{2}}$

3. Затем примените цепочку правил. Умножим на $\frac{d}{d x}\left(x \log{\left (x \right )}\right)$:

   1. Применяем правило производной умножения:

      $\frac{d}{d x}\left(f{\left (x \right )} g{\left (x \right )}\right) = f{\left (x \right )} \frac{d}{d x} g{\left (x \right )} + g{\left (x \right )} \frac{d}{d x} f{\left (x \right )}$

      $f{\left (x \right )} = x$; найдём $\frac{d}{d x} f{\left (x \right )}$:

      1. В силу правила, применим: $x$ получим $1$

      $g{\left (x \right )} = \log{\left (x \right )}$; найдём $\frac{d}{d x} g{\left (x \right )}$:

      1. Производная $\log{\left (x \right )}$ является $\frac{1}{x}$.

      В результате: $\log{\left (x \right )} + 1$

   В результате последовательности правил:

   $- \frac{\log{\left (x \right )} + 1}{x^{2} \log^{2}{\left (x \right )}}$

---

Ответ:

$- \frac{\log{\left (x \right )} + 1}{x^{2} \log^{2}{\left (x \right )}}$

Первая производная

   1                  
--------*(-1 - log(x))
x*log(x)              
----------------------
       x*log(x)       

$$\frac{\frac{1}{x} \frac{1}{\log{\left (x \right )}}}{x \log{\left (x \right )}} \left(- \log{\left (x \right )} - 1\right)$$

Вторая производная

1 + log(x)   /      1   \                      
---------- + |1 + ------|*(1 + log(x)) + log(x)
  log(x)     \    log(x)/                      
-----------------------------------------------
                    3    2                     
                   x *log (x)                  

$$\frac{1}{x^{3} \log^{2}{\left (x \right )}} \left(\left(1 + \frac{1}{\log{\left (x \right )}}\right) \left(\log{\left (x \right )} + 1\right) + \frac{\log{\left (x \right )} + 1}{\log{\left (x \right )}} + \log{\left (x \right )}\right)$$

Третья производная

                                                                                                                            /      1   \             
                                                                                                                            |1 + ------|*(1 + log(x))
                 4      /      1   \                             /       2        3   \   5*(1 + log(x))   3*(1 + log(x))   \    log(x)/             
2 - 3*log(x) + ------ - |1 + ------|*(1 + log(x)) - (1 + log(x))*|2 + ------- + ------| - -------------- - -------------- - -------------------------
               log(x)   \    log(x)/                             |       2      log(x)|       log(x)             2                    log(x)         
                                                                 \    log (x)         /                       log (x)                                
-----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
                                                                       4    2                                                                        
                                                                      x *log (x)                                                                     

$$\frac{1}{x^{4} \log^{2}{\left (x \right )}} \left(- \left(1 + \frac{1}{\log{\left (x \right )}}\right) \left(\log{\left (x \right )} + 1\right) - \frac{1}{\log{\left (x \right )}} \left(1 + \frac{1}{\log{\left (x \right )}}\right) \left(\log{\left (x \right )} + 1\right) - \left(\log{\left (x \right )} + 1\right) \left(2 + \frac{3}{\log{\left (x \right )}} + \frac{2}{\log^{2}{\left (x \right )}}\right) - \frac{5 \log{\left (x \right )} + 5}{\log{\left (x \right )}} - \frac{3 \log{\left (x \right )} + 3}{\log^{2}{\left (x \right )}} - 3 \log{\left (x \right )} + 2 + \frac{4}{\log{\left (x \right )}}\right)$$