Производная 1/(x*(1-x))

Вы ввели

    1    
---------
x*(1 - x)

$$\frac{1}{x \left(- x + 1\right)}$$

Подробное решение

1. Заменим $u = x \left(- x + 1\right)$.

2. В силу правила, применим: $\frac{1}{u}$ получим $- \frac{1}{u^{2}}$

3. Затем примените цепочку правил. Умножим на $\frac{d}{d x}\left(x \left(- x + 1\right)\right)$:

   1. Применяем правило производной умножения:

      $\frac{d}{d x}\left(f{\left (x \right )} g{\left (x \right )}\right) = f{\left (x \right )} \frac{d}{d x} g{\left (x \right )} + g{\left (x \right )} \frac{d}{d x} f{\left (x \right )}$

      $f{\left (x \right )} = x$; найдём $\frac{d}{d x} f{\left (x \right )}$:

      1. В силу правила, применим: $x$ получим $1$

      $g{\left (x \right )} = - x + 1$; найдём $\frac{d}{d x} g{\left (x \right )}$:

      1. дифференцируем $- x + 1$ почленно:

         1. Производная постоянной $1$ равна нулю.

         2. Производная произведения константы на функцию есть произведение этой константы на производную данной функции.

            1. В силу правила, применим: $x$ получим $1$

            Таким образом, в результате: $-1$

         В результате: $-1$

      В результате: $- 2 x + 1$

   В результате последовательности правил:

   $- \frac{- 2 x + 1}{x^{2} \left(- x + 1\right)^{2}}$

4. Теперь упростим:

   $\frac{2 x - 1}{x^{2} \left(x - 1\right)^{2}}$

---

Ответ:

$\frac{2 x - 1}{x^{2} \left(x - 1\right)^{2}}$

Первая производная

    1               
---------*(-1 + 2*x)
x*(1 - x)           
--------------------
     x*(1 - x)      

$$\frac{\frac{1}{x} \frac{1}{- x + 1} \left(2 x - 1\right)}{x \left(- x + 1\right)}$$

Вторая производная

    -1 + 2*x   -1 + 2*x              /1     1   \
2 - -------- - -------- - (-1 + 2*x)*|- + ------|
       x        -1 + x               \x   -1 + x/
-------------------------------------------------
                    2         2                  
                   x *(-1 + x)                   

$$\frac{1}{x^{2} \left(x - 1\right)^{2}} \left(- \left(2 x - 1\right) \left(\frac{1}{x - 1} + \frac{1}{x}\right) + 2 - \frac{2 x - 1}{x - 1} - \frac{1}{x} \left(2 x - 1\right)\right)$$

Третья производная

                                                                                                     /1     1   \              /1     1   \               
                                                                                          (-1 + 2*x)*|- + ------|   (-1 + 2*x)*|- + ------|               
  8     8                   /1        1           1     \   3*(-1 + 2*x)   3*(-1 + 2*x)              \x   -1 + x/              \x   -1 + x/   4*(-1 + 2*x)
- - - ------ + 2*(-1 + 2*x)*|-- + --------- + ----------| + ------------ + ------------ + ----------------------- + ----------------------- + ------------
  x   -1 + x                | 2           2   x*(-1 + x)|         2                 2                x                       -1 + x            x*(-1 + x) 
                            \x    (-1 + x)              /        x          (-1 + x)                                                                      
----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
                                                                        2         2                                                                       
                                                                       x *(-1 + x)                                                                        

$$\frac{1}{x^{2} \left(x - 1\right)^{2}} \left(2 \left(2 x - 1\right) \left(\frac{1}{\left(x - 1\right)^{2}} + \frac{1}{x \left(x - 1\right)} + \frac{1}{x^{2}}\right) + \frac{1}{x - 1} \left(2 x - 1\right) \left(\frac{1}{x - 1} + \frac{1}{x}\right) - \frac{8}{x - 1} + \frac{6 x - 3}{\left(x - 1\right)^{2}} + \frac{1}{x} \left(2 x - 1\right) \left(\frac{1}{x - 1} + \frac{1}{x}\right) - \frac{8}{x} + \frac{8 x - 4}{x \left(x - 1\right)} + \frac{1}{x^{2}} \left(6 x - 3\right)\right)$$