Производная 1/x*sin(x)

Вы ввели

sin(x)
------
  x   

$$\frac{1}{x} \sin{\left (x \right )}$$

Подробное решение

1. Применим правило производной частного:

   $\frac{d}{d x}\left(\frac{f{\left (x \right )}}{g{\left (x \right )}}\right) = \frac{1}{g^{2}{\left (x \right )}} \left(- f{\left (x \right )} \frac{d}{d x} g{\left (x \right )} + g{\left (x \right )} \frac{d}{d x} f{\left (x \right )}\right)$

   $f{\left (x \right )} = \sin{\left (x \right )}$ и $g{\left (x \right )} = x$.

   Чтобы найти $\frac{d}{d x} f{\left (x \right )}$:

   1. Производная синуса есть косинус:

      $\frac{d}{d x} \sin{\left (x \right )} = \cos{\left (x \right )}$

   Чтобы найти $\frac{d}{d x} g{\left (x \right )}$:

   1. В силу правила, применим: $x$ получим $1$

   Теперь применим правило производной деления:

   $\frac{1}{x^{2}} \left(x \cos{\left (x \right )} - \sin{\left (x \right )}\right)$

---

Ответ:

$\frac{1}{x^{2}} \left(x \cos{\left (x \right )} - \sin{\left (x \right )}\right)$

Первая производная

cos(x)   sin(x)
------ - ------
  x         2  
           x   

$$\frac{1}{x} \cos{\left (x \right )} - \frac{1}{x^{2}} \sin{\left (x \right )}$$

Вторая производная

          2*cos(x)   2*sin(x)
-sin(x) - -------- + --------
             x           2   
                        x    
-----------------------------
              x              

$$\frac{1}{x} \left(- \sin{\left (x \right )} - \frac{2}{x} \cos{\left (x \right )} + \frac{2}{x^{2}} \sin{\left (x \right )}\right)$$

Третья производная

          6*sin(x)   3*sin(x)   6*cos(x)
-cos(x) - -------- + -------- + --------
              3         x           2   
             x                     x    
----------------------------------------
                   x                    

$$\frac{1}{x} \left(- \cos{\left (x \right )} + \frac{3}{x} \sin{\left (x \right )} + \frac{6}{x^{2}} \cos{\left (x \right )} - \frac{6}{x^{3}} \sin{\left (x \right )}\right)$$