Производная 1/x*(x-1)

Вы ввели

x - 1
-----
  x  

$$\frac{1}{x} \left(x - 1\right)$$

Подробное решение

1. Применим правило производной частного:

   $\frac{d}{d x}\left(\frac{f{\left (x \right )}}{g{\left (x \right )}}\right) = \frac{1}{g^{2}{\left (x \right )}} \left(- f{\left (x \right )} \frac{d}{d x} g{\left (x \right )} + g{\left (x \right )} \frac{d}{d x} f{\left (x \right )}\right)$

   $f{\left (x \right )} = x - 1$ и $g{\left (x \right )} = x$.

   Чтобы найти $\frac{d}{d x} f{\left (x \right )}$:

   1. дифференцируем $x - 1$ почленно:

      1. Производная постоянной $-1$ равна нулю.

      2. В силу правила, применим: $x$ получим $1$

      В результате: $1$

   Чтобы найти $\frac{d}{d x} g{\left (x \right )}$:

   1. В силу правила, применим: $x$ получим $1$

   Теперь применим правило производной деления:

   $\frac{1}{x^{2}}$

---

Ответ:

$\frac{1}{x^{2}}$

Первая производная

1   x - 1
- - -----
x      2 
      x  

$$\frac{1}{x} - \frac{1}{x^{2}} \left(x - 1\right)$$

Вторая производная

  /     -1 + x\
2*|-1 + ------|
  \       x   /
---------------
        2      
       x       

$$\frac{1}{x^{2}} \left(-2 + \frac{1}{x} \left(2 x - 2\right)\right)$$

Третья производная

  /    -1 + x\
6*|1 - ------|
  \      x   /
--------------
       3      
      x       

$$\frac{1}{x^{3}} \left(6 - \frac{1}{x} \left(6 x - 6\right)\right)$$