Производная 1/(x*(x-1))

Вы ввели

    1    
---------
x*(x - 1)

$$\frac{1}{x \left(x - 1\right)}$$

Подробное решение

1. Заменим $u = x \left(x - 1\right)$.

2. В силу правила, применим: $\frac{1}{u}$ получим $- \frac{1}{u^{2}}$

3. Затем примените цепочку правил. Умножим на $\frac{d}{d x}\left(x \left(x - 1\right)\right)$:

   1. Применяем правило производной умножения:

      $\frac{d}{d x}\left(f{\left (x \right )} g{\left (x \right )}\right) = f{\left (x \right )} \frac{d}{d x} g{\left (x \right )} + g{\left (x \right )} \frac{d}{d x} f{\left (x \right )}$

      $f{\left (x \right )} = x$; найдём $\frac{d}{d x} f{\left (x \right )}$:

      1. В силу правила, применим: $x$ получим $1$

      $g{\left (x \right )} = x - 1$; найдём $\frac{d}{d x} g{\left (x \right )}$:

      1. дифференцируем $x - 1$ почленно:

         1. В силу правила, применим: $x$ получим $1$

         2. Производная постоянной $-1$ равна нулю.

         В результате: $1$

      В результате: $2 x - 1$

   В результате последовательности правил:

   $- \frac{2 x - 1}{x^{2} \left(x - 1\right)^{2}}$

4. Теперь упростим:

   $\frac{- 2 x + 1}{x^{2} \left(x - 1\right)^{2}}$

---

Ответ:

$\frac{- 2 x + 1}{x^{2} \left(x - 1\right)^{2}}$

Первая производная

    1              
---------*(1 - 2*x)
x*(x - 1)          
-------------------
     x*(x - 1)     

$$\frac{\frac{1}{x} \frac{1}{x - 1}}{x \left(x - 1\right)} \left(- 2 x + 1\right)$$

Вторая производная

     -1 + 2*x   -1 + 2*x              /1     1   \
-2 + -------- + -------- + (-1 + 2*x)*|- + ------|
        x        -1 + x               \x   -1 + x/
--------------------------------------------------
                    2         2                   
                   x *(-1 + x)                    

$$\frac{1}{x^{2} \left(x - 1\right)^{2}} \left(\left(2 x - 1\right) \left(\frac{1}{x - 1} + \frac{1}{x}\right) - 2 + \frac{2 x - 1}{x - 1} + \frac{1}{x} \left(2 x - 1\right)\right)$$

Третья производная

                                                                                                   /1     1   \              /1     1   \               
                                                                                        (-1 + 2*x)*|- + ------|   (-1 + 2*x)*|- + ------|               
8     8      3*(-1 + 2*x)   3*(-1 + 2*x)                /1        1           1     \              \x   -1 + x/              \x   -1 + x/   4*(-1 + 2*x)
- + ------ - ------------ - ------------ - 2*(-1 + 2*x)*|-- + --------- + ----------| - ----------------------- - ----------------------- - ------------
x   -1 + x         2                 2                  | 2           2   x*(-1 + x)|              x                       -1 + x            x*(-1 + x) 
                  x          (-1 + x)                   \x    (-1 + x)              /                                                                   
--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
                                                                       2         2                                                                      
                                                                      x *(-1 + x)                                                                       

$$\frac{1}{x^{2} \left(x - 1\right)^{2}} \left(- 2 \left(2 x - 1\right) \left(\frac{1}{\left(x - 1\right)^{2}} + \frac{1}{x \left(x - 1\right)} + \frac{1}{x^{2}}\right) - \frac{1}{x - 1} \left(2 x - 1\right) \left(\frac{1}{x - 1} + \frac{1}{x}\right) + \frac{8}{x - 1} - \frac{6 x - 3}{\left(x - 1\right)^{2}} - \frac{1}{x} \left(2 x - 1\right) \left(\frac{1}{x - 1} + \frac{1}{x}\right) + \frac{8}{x} - \frac{8 x - 4}{x \left(x - 1\right)} - \frac{1}{x^{2}} \left(6 x - 3\right)\right)$$