Производная 1/(x*(x+1))

Вы ввели

    1    
---------
x*(x + 1)

$$\frac{1}{x \left(x + 1\right)}$$

Подробное решение

1. Заменим $u = x \left(x + 1\right)$.

2. В силу правила, применим: $\frac{1}{u}$ получим $- \frac{1}{u^{2}}$

3. Затем примените цепочку правил. Умножим на $\frac{d}{d x}\left(x \left(x + 1\right)\right)$:

   1. Применяем правило производной умножения:

      $\frac{d}{d x}\left(f{\left (x \right )} g{\left (x \right )}\right) = f{\left (x \right )} \frac{d}{d x} g{\left (x \right )} + g{\left (x \right )} \frac{d}{d x} f{\left (x \right )}$

      $f{\left (x \right )} = x$; найдём $\frac{d}{d x} f{\left (x \right )}$:

      1. В силу правила, применим: $x$ получим $1$

      $g{\left (x \right )} = x + 1$; найдём $\frac{d}{d x} g{\left (x \right )}$:

      1. дифференцируем $x + 1$ почленно:

         1. В силу правила, применим: $x$ получим $1$

         2. Производная постоянной $1$ равна нулю.

         В результате: $1$

      В результате: $2 x + 1$

   В результате последовательности правил:

   $- \frac{2 x + 1}{x^{2} \left(x + 1\right)^{2}}$

4. Теперь упростим:

   $- \frac{2 x + 1}{x^{2} \left(x + 1\right)^{2}}$

---

Ответ:

$- \frac{2 x + 1}{x^{2} \left(x + 1\right)^{2}}$

Первая производная

    1               
---------*(-1 - 2*x)
x*(x + 1)           
--------------------
     x*(x + 1)      

$$\frac{\frac{1}{x} \frac{1}{x + 1}}{x \left(x + 1\right)} \left(- 2 x - 1\right)$$

Вторая производная

     1 + 2*x   1 + 2*x             /1     1  \
-2 + ------- + ------- + (1 + 2*x)*|- + -----|
        x       1 + x              \x   1 + x/
----------------------------------------------
                  2        2                  
                 x *(1 + x)                   

$$\frac{1}{x^{2} \left(x + 1\right)^{2}} \left(\left(2 x + 1\right) \left(\frac{1}{x + 1} + \frac{1}{x}\right) - 2 + \frac{2 x + 1}{x + 1} + \frac{1}{x} \left(2 x + 1\right)\right)$$

Третья производная

                                                                                            /1     1  \             /1     1  \              
                                                                                  (1 + 2*x)*|- + -----|   (1 + 2*x)*|- + -----|              
8     8     3*(1 + 2*x)   3*(1 + 2*x)               /1       1           1    \             \x   1 + x/             \x   1 + x/   4*(1 + 2*x)
- + ----- - ----------- - ----------- - 2*(1 + 2*x)*|-- + -------- + ---------| - --------------------- - --------------------- - -----------
x   1 + x         2                2                | 2          2   x*(1 + x)|             x                     1 + x            x*(1 + x) 
                 x          (1 + x)                 \x    (1 + x)             /                                                              
---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
                                                                  2        2                                                                 
                                                                 x *(1 + x)                                                                  

$$\frac{1}{x^{2} \left(x + 1\right)^{2}} \left(- 2 \left(2 x + 1\right) \left(\frac{1}{\left(x + 1\right)^{2}} + \frac{1}{x \left(x + 1\right)} + \frac{1}{x^{2}}\right) - \frac{1}{x + 1} \left(2 x + 1\right) \left(\frac{1}{x + 1} + \frac{1}{x}\right) + \frac{8}{x + 1} - \frac{6 x + 3}{\left(x + 1\right)^{2}} - \frac{1}{x} \left(2 x + 1\right) \left(\frac{1}{x + 1} + \frac{1}{x}\right) + \frac{8}{x} - \frac{8 x + 4}{x \left(x + 1\right)} - \frac{1}{x^{2}} \left(6 x + 3\right)\right)$$