Производная 1/(x^(1/x))

Вы ввели

  1  
-----
x ___
\/ x 

$$\frac{1}{x^{\frac{1}{x}}}$$

Подробное решение

1. Заменим $u = x^{\frac{1}{x}}$.

2. В силу правила, применим: $\frac{1}{u}$ получим $- \frac{1}{u^{2}}$

3. Затем примените цепочку правил. Умножим на $\frac{d}{d x} x^{\frac{1}{x}}$:

   1. Не могу найти шаги в поиске этой производной.

      Но производная

      $\left(\log{\left (\frac{1}{x} \right )} + 1\right) \left(\frac{1}{x}\right)^{\frac{1}{x}}$

   В результате последовательности правил:

   $- x^{- \frac{2}{x}} \left(\log{\left (\frac{1}{x} \right )} + 1\right) \left(\frac{1}{x}\right)^{\frac{1}{x}}$

---

Ответ:

$- x^{- \frac{2}{x}} \left(\log{\left (\frac{1}{x} \right )} + 1\right) \left(\frac{1}{x}\right)^{\frac{1}{x}}$

Первая производная

 -1                 
 ---                
  x  /  1    log(x)\
x   *|- -- + ------|
     |   2      2  |
     \  x      x   /

$$x^{- \frac{1}{x}} \left(\frac{1}{x^{2}} \log{\left (x \right )} - \frac{1}{x^{2}}\right)$$

Вторая производная

 -1                                 
 --- /                            2\
  x  |               (-1 + log(x)) |
x   *|3 - 2*log(x) + --------------|
     \                     x       /
------------------------------------
                  3                 
                 x                  

$$\frac{x^{- \frac{1}{x}}}{x^{3}} \left(- 2 \log{\left (x \right )} + 3 + \frac{1}{x} \left(\log{\left (x \right )} - 1\right)^{2}\right)$$

Третья производная

 -1                                                                     
 --- /                              3                                  \
  x  |                 (-1 + log(x))    3*(-1 + log(x))*(-3 + 2*log(x))|
x   *|-11 + 6*log(x) + -------------- - -------------------------------|
     |                        2                        x               |
     \                       x                                         /
------------------------------------------------------------------------
                                    4                                   
                                   x                                    

$$\frac{x^{- \frac{1}{x}}}{x^{4}} \left(6 \log{\left (x \right )} - 11 - \frac{3}{x} \left(\log{\left (x \right )} - 1\right) \left(2 \log{\left (x \right )} - 3\right) + \frac{1}{x^{2}} \left(\log{\left (x \right )} - 1\right)^{3}\right)$$