Производная 1-cos(log(1+x))

Вы ввели

1 - cos(log(1 + x))

$$1 - \cos{\left(\log{\left(x + 1 \right)} \right)}$$

d                      
--(1 - cos(log(1 + x)))
dx                     

$$\frac{d}{d x} \left(1 - \cos{\left(\log{\left(x + 1 \right)} \right)}\right)$$

Подробное решение

1. дифференцируем $1 - \cos{\left(\log{\left(x + 1 \right)} \right)}$ почленно:

   1. Производная постоянной $1$ равна нулю.

   2. Производная произведения константы на функцию есть произведение этой константы на производную данной функции.

      1. Заменим $u = \log{\left(x + 1 \right)}$.

      2. Производная косинус есть минус синус:

         $\frac{d}{d u} \cos{\left(u \right)} = - \sin{\left(u \right)}$

      3. Затем примените цепочку правил. Умножим на $\frac{d}{d x} \log{\left(x + 1 \right)}$:

         1. Заменим $u = x + 1$.

         2. Производная $\log{\left(u \right)}$ является $\frac{1}{u}$.

         3. Затем примените цепочку правил. Умножим на $\frac{d}{d x} \left(x + 1\right)$:

            1. дифференцируем $x + 1$ почленно:

               1. Производная постоянной $1$ равна нулю.

               2. В силу правила, применим: $x$ получим $1$

               В результате: $1$

            В результате последовательности правил:

            $\frac{1}{x + 1}$

         В результате последовательности правил:

         $- \frac{\sin{\left(\log{\left(x + 1 \right)} \right)}}{x + 1}$

      Таким образом, в результате: $\frac{\sin{\left(\log{\left(x + 1 \right)} \right)}}{x + 1}$

   В результате: $\frac{\sin{\left(\log{\left(x + 1 \right)} \right)}}{x + 1}$

---

Ответ:

$\frac{\sin{\left(\log{\left(x + 1 \right)} \right)}}{x + 1}$

Первая производная

sin(log(1 + x))
---------------
     1 + x     

$$\frac{\sin{\left(\log{\left(x + 1 \right)} \right)}}{x + 1}$$

Вторая производная

-sin(log(1 + x)) + cos(log(1 + x))
----------------------------------
                    2             
             (1 + x)              

$$\frac{- \sin{\left(\log{\left(x + 1 \right)} \right)} + \cos{\left(\log{\left(x + 1 \right)} \right)}}{\left(x + 1\right)^{2}}$$

Третья производная

-3*cos(log(1 + x)) + sin(log(1 + x))
------------------------------------
                     3              
              (1 + x)               

$$\frac{\sin{\left(\log{\left(x + 1 \right)} \right)} - 3 \cos{\left(\log{\left(x + 1 \right)} \right)}}{\left(x + 1\right)^{3}}$$

График