Производная 1-cos(x)/sin(x)

Вы ввели

    cos(x)
1 - ------
    sin(x)

$$1 - \frac{\cos{\left(x \right)}}{\sin{\left(x \right)}}$$

d /    cos(x)\
--|1 - ------|
dx\    sin(x)/

$$\frac{d}{d x} \left(1 - \frac{\cos{\left(x \right)}}{\sin{\left(x \right)}}\right)$$

Подробное решение

1. дифференцируем $1 - \frac{\cos{\left(x \right)}}{\sin{\left(x \right)}}$ почленно:

   1. Производная постоянной $1$ равна нулю.

   2. Производная произведения константы на функцию есть произведение этой константы на производную данной функции.

      1. Применим правило производной частного:

         $\frac{d}{d x} \frac{f{\left(x \right)}}{g{\left(x \right)}} = \frac{- f{\left(x \right)} \frac{d}{d x} g{\left(x \right)} + g{\left(x \right)} \frac{d}{d x} f{\left(x \right)}}{g^{2}{\left(x \right)}}$

         $f{\left(x \right)} = \cos{\left(x \right)}$ и $g{\left(x \right)} = \sin{\left(x \right)}$.

         Чтобы найти $\frac{d}{d x} f{\left(x \right)}$:

         1. Производная косинус есть минус синус:

            $\frac{d}{d x} \cos{\left(x \right)} = - \sin{\left(x \right)}$

         Чтобы найти $\frac{d}{d x} g{\left(x \right)}$:

         1. Производная синуса есть косинус:

            $\frac{d}{d x} \sin{\left(x \right)} = \cos{\left(x \right)}$

         Теперь применим правило производной деления:

         $\frac{- \sin^{2}{\left(x \right)} - \cos^{2}{\left(x \right)}}{\sin^{2}{\left(x \right)}}$

      Таким образом, в результате: $- \frac{- \sin^{2}{\left(x \right)} - \cos^{2}{\left(x \right)}}{\sin^{2}{\left(x \right)}}$

   В результате: $- \frac{- \sin^{2}{\left(x \right)} - \cos^{2}{\left(x \right)}}{\sin^{2}{\left(x \right)}}$

2. Теперь упростим:

   $\frac{1}{\sin^{2}{\left(x \right)}}$

---

Ответ:

$\frac{1}{\sin^{2}{\left(x \right)}}$

Первая производная

       2   
    cos (x)
1 + -------
       2   
    sin (x)

$$1 + \frac{\cos^{2}{\left(x \right)}}{\sin^{2}{\left(x \right)}}$$

Вторая производная

   /       2   \       
   |    cos (x)|       
-2*|1 + -------|*cos(x)
   |       2   |       
   \    sin (x)/       
-----------------------
         sin(x)        

$$- \frac{2 \cdot \left(1 + \frac{\cos^{2}{\left(x \right)}}{\sin^{2}{\left(x \right)}}\right) \cos{\left(x \right)}}{\sin{\left(x \right)}}$$

Третья производная

  /         4           2   \
  |    3*cos (x)   4*cos (x)|
2*|1 + --------- + ---------|
  |        4           2    |
  \     sin (x)     sin (x) /

$$2 \cdot \left(1 + \frac{4 \cos^{2}{\left(x \right)}}{\sin^{2}{\left(x \right)}} + \frac{3 \cos^{4}{\left(x \right)}}{\sin^{4}{\left(x \right)}}\right)$$

График