Производная (1-cos(x))*cot(x)

Вы ввели

(1 - cos(x))*cot(x)

$$\left(- \cos{\left (x \right )} + 1\right) \cot{\left (x \right )}$$

Подробное решение

1. Применяем правило производной умножения:

   $\frac{d}{d x}\left(f{\left (x \right )} g{\left (x \right )}\right) = f{\left (x \right )} \frac{d}{d x} g{\left (x \right )} + g{\left (x \right )} \frac{d}{d x} f{\left (x \right )}$

   $f{\left (x \right )} = - \cos{\left (x \right )} + 1$; найдём $\frac{d}{d x} f{\left (x \right )}$:

   1. дифференцируем $- \cos{\left (x \right )} + 1$ почленно:

      1. Производная постоянной $1$ равна нулю.

      2. Производная произведения константы на функцию есть произведение этой константы на производную данной функции.

         1. Производная косинус есть минус синус:

            $\frac{d}{d x} \cos{\left (x \right )} = - \sin{\left (x \right )}$

         Таким образом, в результате: $\sin{\left (x \right )}$

      В результате: $\sin{\left (x \right )}$

   $g{\left (x \right )} = \cot{\left (x \right )}$; найдём $\frac{d}{d x} g{\left (x \right )}$:

   1. Есть несколько способов вычислить эту производную.

      Один из способов:

      1. $\frac{d}{d x} \cot{\left (x \right )} = - \frac{1}{\sin^{2}{\left (x \right )}}$

   В результате: $- \frac{\left(\sin^{2}{\left (x \right )} + \cos^{2}{\left (x \right )}\right) \left(- \cos{\left (x \right )} + 1\right)}{\cos^{2}{\left (x \right )} \tan^{2}{\left (x \right )}} + \sin{\left (x \right )} \cot{\left (x \right )}$

2. Теперь упростим:

   $\frac{1}{\sin^{2}{\left (x \right )}} \left(\frac{5}{4} \cos{\left (x \right )} - \frac{1}{4} \cos{\left (3 x \right )} - 1\right)$

---

Ответ:

$\frac{1}{\sin^{2}{\left (x \right )}} \left(\frac{5}{4} \cos{\left (x \right )} - \frac{1}{4} \cos{\left (3 x \right )} - 1\right)$

Первая производная

             /        2   \                
(1 - cos(x))*\-1 - cot (x)/ + cot(x)*sin(x)

$$\left(- \cos{\left (x \right )} + 1\right) \left(- \cot^{2}{\left (x \right )} - 1\right) + \sin{\left (x \right )} \cot{\left (x \right )}$$

Вторая производная

                  /       2   \            /       2   \                     
cos(x)*cot(x) - 2*\1 + cot (x)/*sin(x) - 2*\1 + cot (x)/*(-1 + cos(x))*cot(x)

$$- 2 \left(\cos{\left (x \right )} - 1\right) \left(\cot^{2}{\left (x \right )} + 1\right) \cot{\left (x \right )} - 2 \left(\cot^{2}{\left (x \right )} + 1\right) \sin{\left (x \right )} + \cos{\left (x \right )} \cot{\left (x \right )}$$

Третья производная

                                                         2                                                                                      
                   /       2   \            /       2   \                       2    /       2   \                   /       2   \              
-cot(x)*sin(x) - 3*\1 + cot (x)/*cos(x) + 2*\1 + cot (x)/ *(-1 + cos(x)) + 4*cot (x)*\1 + cot (x)/*(-1 + cos(x)) + 6*\1 + cot (x)/*cot(x)*sin(x)

$$2 \left(\cos{\left (x \right )} - 1\right) \left(\cot^{2}{\left (x \right )} + 1\right)^{2} + 4 \left(\cos{\left (x \right )} - 1\right) \left(\cot^{2}{\left (x \right )} + 1\right) \cot^{2}{\left (x \right )} + 6 \left(\cot^{2}{\left (x \right )} + 1\right) \sin{\left (x \right )} \cot{\left (x \right )} - 3 \left(\cot^{2}{\left (x \right )} + 1\right) \cos{\left (x \right )} - \sin{\left (x \right )} \cot{\left (x \right )}$$