Производная 1-log(cos(x)^2)

Вы ввели

       /   2   \
1 - log\cos (x)/

$$- \log{\left (\cos^{2}{\left (x \right )} \right )} + 1$$

Подробное решение

1. дифференцируем $- \log{\left (\cos^{2}{\left (x \right )} \right )} + 1$ почленно:

   1. Производная постоянной $1$ равна нулю.

   2. Производная произведения константы на функцию есть произведение этой константы на производную данной функции.

      1. Заменим $u = \cos^{2}{\left (x \right )}$.

      2. Производная $\log{\left (u \right )}$ является $\frac{1}{u}$.

      3. Затем примените цепочку правил. Умножим на $\frac{d}{d x} \cos^{2}{\left (x \right )}$:

         1. Заменим $u = \cos{\left (x \right )}$.

         2. В силу правила, применим: $u^{2}$ получим $2 u$

         3. Затем примените цепочку правил. Умножим на $\frac{d}{d x} \cos{\left (x \right )}$:

            1. Производная косинус есть минус синус:

               $\frac{d}{d x} \cos{\left (x \right )} = - \sin{\left (x \right )}$

            В результате последовательности правил:

            $- 2 \sin{\left (x \right )} \cos{\left (x \right )}$

         В результате последовательности правил:

         $- \frac{2 \sin{\left (x \right )}}{\cos{\left (x \right )}}$

      Таким образом, в результате: $\frac{2 \sin{\left (x \right )}}{\cos{\left (x \right )}}$

   В результате: $\frac{2 \sin{\left (x \right )}}{\cos{\left (x \right )}}$

2. Теперь упростим:

   $2 \tan{\left (x \right )}$

---

Ответ:

$2 \tan{\left (x \right )}$

Первая производная

2*sin(x)
--------
 cos(x) 

$$\frac{2 \sin{\left (x \right )}}{\cos{\left (x \right )}}$$

Вторая производная

  /       2   \
  |    sin (x)|
2*|1 + -------|
  |       2   |
  \    cos (x)/

$$2 \left(\frac{\sin^{2}{\left (x \right )}}{\cos^{2}{\left (x \right )}} + 1\right)$$

Третья производная

  /       2   \       
  |    sin (x)|       
4*|1 + -------|*sin(x)
  |       2   |       
  \    cos (x)/       
----------------------
        cos(x)        

$$\frac{4 \sin{\left (x \right )}}{\cos{\left (x \right )}} \left(\frac{\sin^{2}{\left (x \right )}}{\cos^{2}{\left (x \right )}} + 1\right)$$