Производная (1-(1/x))^5

Вы ввели

       5
/    1\ 
|1 - -| 
\    x/ 

$$\left(1 - \frac{1}{x}\right)^{5}$$

Подробное решение

1. Заменим $u = 1 - \frac{1}{x}$.

2. В силу правила, применим: $u^{5}$ получим $5 u^{4}$

3. Затем примените цепочку правил. Умножим на $\frac{d}{d x}\left(1 - \frac{1}{x}\right)$:

   1. дифференцируем $1 - \frac{1}{x}$ почленно:

      1. Производная постоянной $1$ равна нулю.

      2. Производная произведения константы на функцию есть произведение этой константы на производную данной функции.

         1. В силу правила, применим: $\frac{1}{x}$ получим $- \frac{1}{x^{2}}$

         Таким образом, в результате: $\frac{1}{x^{2}}$

      В результате: $\frac{1}{x^{2}}$

   В результате последовательности правил:

   $\frac{5}{x^{2}} \left(1 - \frac{1}{x}\right)^{4}$

4. Теперь упростим:

   $\frac{5}{x^{6}} \left(x - 1\right)^{4}$

---

Ответ:

$\frac{5}{x^{6}} \left(x - 1\right)^{4}$

Первая производная

         4
  /    1\ 
5*|1 - -| 
  \    x/ 
----------
     2    
    x     

$$\frac{5}{x^{2}} \left(1 - \frac{1}{x}\right)^{4}$$

Вторая производная

          3         
   /    1\  /     3\
10*|1 - -| *|-1 + -|
   \    x/  \     x/
--------------------
          3         
         x          

$$\frac{10}{x^{3}} \left(-1 + \frac{3}{x}\right) \left(1 - \frac{1}{x}\right)^{3}$$

Третья производная

            /                  /    1\\
          2 |       2        4*|1 - -||
   /    1\  |/    1\    2      \    x/|
30*|1 - -| *||1 - -|  + -- - ---------|
   \    x/  |\    x/     2       x    |
            \           x             /
---------------------------------------
                    4                  
                   x                   

$$\frac{30}{x^{4}} \left(1 - \frac{1}{x}\right)^{2} \left(\left(1 - \frac{1}{x}\right)^{2} - \frac{1}{x} \left(4 - \frac{4}{x}\right) + \frac{2}{x^{2}}\right)$$