Производная (1-1/x)^x

Вы ввели

       x
/    1\ 
|1 - -| 
\    x/ 

$$\left(1 - \frac{1}{x}\right)^{x}$$

Подробное решение

1. Не могу найти шаги в поиске этой производной.

   Но производная

   $x^{x} \left(\log{\left (x \right )} + 1\right)$

---

Ответ:

$x^{x} \left(\log{\left (x \right )} + 1\right)$

Первая производная

       x                         
/    1\  /    1          /    1\\
|1 - -| *|--------- + log|1 - -||
\    x/  |  /    1\      \    x/|
         |x*|1 - -|             |
         \  \    x/             /

$$\left(1 - \frac{1}{x}\right)^{x} \left(\log{\left (1 - \frac{1}{x} \right )} + \frac{1}{x \left(1 - \frac{1}{x}\right)}\right)$$

Вторая производная

       x /                        2              \
/    1\  |/    1          /    1\\         1     |
|1 - -| *||--------- + log|1 - -||  - -----------|
\    x/  ||  /    1\      \    x/|              2|
         ||x*|1 - -|             |     3 /    1\ |
         |\  \    x/             /    x *|1 - -| |
         \                               \    x/ /

$$\left(1 - \frac{1}{x}\right)^{x} \left(\left(\log{\left (1 - \frac{1}{x} \right )} + \frac{1}{x \left(1 - \frac{1}{x}\right)}\right)^{2} - \frac{1}{x^{3} \left(1 - \frac{1}{x}\right)^{2}}\right)$$

Третья производная

         /                                                          /    1          /    1\\\
         |                                                        3*|--------- + log|1 - -|||
         |                                                          |  /    1\      \    x/||
       x |                        3                                 |x*|1 - -|             ||
/    1\  |/    1          /    1\\         2             3          \  \    x/             /|
|1 - -| *||--------- + log|1 - -||  + ----------- + ----------- - --------------------------|
\    x/  ||  /    1\      \    x/|              3             2                    2        |
         ||x*|1 - -|             |     5 /    1\     4 /    1\            3 /    1\         |
         |\  \    x/             /    x *|1 - -|    x *|1 - -|           x *|1 - -|         |
         \                               \    x/       \    x/              \    x/         /

$$\left(1 - \frac{1}{x}\right)^{x} \left(\left(\log{\left (1 - \frac{1}{x} \right )} + \frac{1}{x \left(1 - \frac{1}{x}\right)}\right)^{3} - \frac{1}{x^{3} \left(1 - \frac{1}{x}\right)^{2}} \left(3 \log{\left (1 - \frac{1}{x} \right )} + \frac{3}{x \left(1 - \frac{1}{x}\right)}\right) + \frac{3}{x^{4} \left(1 - \frac{1}{x}\right)^{2}} + \frac{2}{x^{5} \left(1 - \frac{1}{x}\right)^{3}}\right)$$