Производная 1+cos(x)/sin(x)

Вы ввели

    cos(x)
1 + ------
    sin(x)

$$1 + \frac{\cos{\left(x \right)}}{\sin{\left(x \right)}}$$

d /    cos(x)\
--|1 + ------|
dx\    sin(x)/

$$\frac{d}{d x} \left(1 + \frac{\cos{\left(x \right)}}{\sin{\left(x \right)}}\right)$$

Подробное решение

1. дифференцируем $1 + \frac{\cos{\left(x \right)}}{\sin{\left(x \right)}}$ почленно:

   1. Производная постоянной $1$ равна нулю.

   2. Применим правило производной частного:

      $\frac{d}{d x} \frac{f{\left(x \right)}}{g{\left(x \right)}} = \frac{- f{\left(x \right)} \frac{d}{d x} g{\left(x \right)} + g{\left(x \right)} \frac{d}{d x} f{\left(x \right)}}{g^{2}{\left(x \right)}}$

      $f{\left(x \right)} = \cos{\left(x \right)}$ и $g{\left(x \right)} = \sin{\left(x \right)}$.

      Чтобы найти $\frac{d}{d x} f{\left(x \right)}$:

      1. Производная косинус есть минус синус:

         $\frac{d}{d x} \cos{\left(x \right)} = - \sin{\left(x \right)}$

      Чтобы найти $\frac{d}{d x} g{\left(x \right)}$:

      1. Производная синуса есть косинус:

         $\frac{d}{d x} \sin{\left(x \right)} = \cos{\left(x \right)}$

      Теперь применим правило производной деления:

      $\frac{- \sin^{2}{\left(x \right)} - \cos^{2}{\left(x \right)}}{\sin^{2}{\left(x \right)}}$

   В результате: $\frac{- \sin^{2}{\left(x \right)} - \cos^{2}{\left(x \right)}}{\sin^{2}{\left(x \right)}}$

2. Теперь упростим:

   $- \frac{1}{\sin^{2}{\left(x \right)}}$

---

Ответ:

$- \frac{1}{\sin^{2}{\left(x \right)}}$

Первая производная

        2   
     cos (x)
-1 - -------
        2   
     sin (x)

$$-1 - \frac{\cos^{2}{\left(x \right)}}{\sin^{2}{\left(x \right)}}$$

Вторая производная

  /       2   \       
  |    cos (x)|       
2*|1 + -------|*cos(x)
  |       2   |       
  \    sin (x)/       
----------------------
        sin(x)        

$$\frac{2 \cdot \left(1 + \frac{\cos^{2}{\left(x \right)}}{\sin^{2}{\left(x \right)}}\right) \cos{\left(x \right)}}{\sin{\left(x \right)}}$$

Третья производная

   /         4           2   \
   |    3*cos (x)   4*cos (x)|
-2*|1 + --------- + ---------|
   |        4           2    |
   \     sin (x)     sin (x) /

$$- 2 \cdot \left(1 + \frac{4 \cos^{2}{\left(x \right)}}{\sin^{2}{\left(x \right)}} + \frac{3 \cos^{4}{\left(x \right)}}{\sin^{4}{\left(x \right)}}\right)$$

График