Производная (1+cos(x))/sin(x)

Вы ввели

1 + cos(x)
----------
  sin(x)  

$$\frac{\cos{\left (x \right )} + 1}{\sin{\left (x \right )}}$$

Подробное решение

1. Применим правило производной частного:

   $\frac{d}{d x}\left(\frac{f{\left (x \right )}}{g{\left (x \right )}}\right) = \frac{1}{g^{2}{\left (x \right )}} \left(- f{\left (x \right )} \frac{d}{d x} g{\left (x \right )} + g{\left (x \right )} \frac{d}{d x} f{\left (x \right )}\right)$

   $f{\left (x \right )} = \cos{\left (x \right )} + 1$ и $g{\left (x \right )} = \sin{\left (x \right )}$.

   Чтобы найти $\frac{d}{d x} f{\left (x \right )}$:

   1. дифференцируем $\cos{\left (x \right )} + 1$ почленно:

      1. Производная постоянной $1$ равна нулю.

      2. Производная косинус есть минус синус:

         $\frac{d}{d x} \cos{\left (x \right )} = - \sin{\left (x \right )}$

      В результате: $- \sin{\left (x \right )}$

   Чтобы найти $\frac{d}{d x} g{\left (x \right )}$:

   1. Производная синуса есть косинус:

      $\frac{d}{d x} \sin{\left (x \right )} = \cos{\left (x \right )}$

   Теперь применим правило производной деления:

   $\frac{1}{\sin^{2}{\left (x \right )}} \left(- \left(\cos{\left (x \right )} + 1\right) \cos{\left (x \right )} - \sin^{2}{\left (x \right )}\right)$

2. Теперь упростим:

   $- \frac{\cos{\left (x \right )} + 1}{\sin^{2}{\left (x \right )}}$

---

Ответ:

$- \frac{\cos{\left (x \right )} + 1}{\sin^{2}{\left (x \right )}}$

Первая производная

     (1 + cos(x))*cos(x)
-1 - -------------------
              2         
           sin (x)      

$$- \frac{\cos{\left (x \right )}}{\sin^{2}{\left (x \right )}} \left(\cos{\left (x \right )} + 1\right) - 1$$

Вторая производная

                    2                
               2*cos (x)*(1 + cos(x))
1 + 2*cos(x) + ----------------------
                         2           
                      sin (x)        
-------------------------------------
                sin(x)               

$$\frac{1}{\sin{\left (x \right )}} \left(\frac{2 \cos^{2}{\left (x \right )}}{\sin^{2}{\left (x \right )}} \left(\cos{\left (x \right )} + 1\right) + 2 \cos{\left (x \right )} + 1\right)$$

Третья производная

 /         2                                   3                \
 |    3*cos (x)   5*(1 + cos(x))*cos(x)   6*cos (x)*(1 + cos(x))|
-|2 + --------- + --------------------- + ----------------------|
 |        2                 2                       4           |
 \     sin (x)           sin (x)                 sin (x)        /

$$- \frac{5 \cos{\left (x \right )}}{\sin^{2}{\left (x \right )}} \left(\cos{\left (x \right )} + 1\right) + \frac{6 \cos^{3}{\left (x \right )}}{\sin^{4}{\left (x \right )}} \left(\cos{\left (x \right )} + 1\right) + 2 + \frac{3 \cos^{2}{\left (x \right )}}{\sin^{2}{\left (x \right )}}$$