Производная (1+sec(x))*sin(x)

Вы ввели

(1 + sec(x))*sin(x)

$$\left(\sec{\left (x \right )} + 1\right) \sin{\left (x \right )}$$

Подробное решение

1. Применяем правило производной умножения:

   $\frac{d}{d x}\left(f{\left (x \right )} g{\left (x \right )}\right) = f{\left (x \right )} \frac{d}{d x} g{\left (x \right )} + g{\left (x \right )} \frac{d}{d x} f{\left (x \right )}$

   $f{\left (x \right )} = \sec{\left (x \right )} + 1$; найдём $\frac{d}{d x} f{\left (x \right )}$:

   1. дифференцируем $\sec{\left (x \right )} + 1$ почленно:

      1. Производная постоянной $1$ равна нулю.

      2. Есть несколько способов вычислить эту производную.

         Один из способов:

         1. Производная секанса есть секанс, умноженный на тангенс:

            $\frac{d}{d x} \sec{\left (x \right )} = \tan{\left (x \right )} \sec{\left (x \right )}$

      В результате: $\frac{\sin{\left (x \right )}}{\cos^{2}{\left (x \right )}}$

   $g{\left (x \right )} = \sin{\left (x \right )}$; найдём $\frac{d}{d x} g{\left (x \right )}$:

   1. Производная синуса есть косинус:

      $\frac{d}{d x} \sin{\left (x \right )} = \cos{\left (x \right )}$

   В результате: $\left(\sec{\left (x \right )} + 1\right) \cos{\left (x \right )} + \frac{\sin^{2}{\left (x \right )}}{\cos^{2}{\left (x \right )}}$

2. Теперь упростим:

   $\cos{\left (x \right )} + \frac{1}{\cos^{2}{\left (x \right )}}$

---

Ответ:

$\cos{\left (x \right )} + \frac{1}{\cos^{2}{\left (x \right )}}$

Первая производная

(1 + sec(x))*cos(x) + sec(x)*sin(x)*tan(x)

$$\left(\sec{\left (x \right )} + 1\right) \cos{\left (x \right )} + \sin{\left (x \right )} \tan{\left (x \right )} \sec{\left (x \right )}$$

Вторая производная

                          2                    /       2   \                                       
-(1 + sec(x))*sin(x) + tan (x)*sec(x)*sin(x) + \1 + tan (x)/*sec(x)*sin(x) + 2*cos(x)*sec(x)*tan(x)

$$\left(\tan^{2}{\left (x \right )} + 1\right) \sin{\left (x \right )} \sec{\left (x \right )} - \left(\sec{\left (x \right )} + 1\right) \sin{\left (x \right )} + \sin{\left (x \right )} \tan^{2}{\left (x \right )} \sec{\left (x \right )} + 2 \cos{\left (x \right )} \tan{\left (x \right )} \sec{\left (x \right )}$$

Третья производная

                          3                                                  2                      /       2   \                   /       2   \                     
-(1 + sec(x))*cos(x) + tan (x)*sec(x)*sin(x) - 3*sec(x)*sin(x)*tan(x) + 3*tan (x)*cos(x)*sec(x) + 3*\1 + tan (x)/*cos(x)*sec(x) + 5*\1 + tan (x)/*sec(x)*sin(x)*tan(x)

$$5 \left(\tan^{2}{\left (x \right )} + 1\right) \sin{\left (x \right )} \tan{\left (x \right )} \sec{\left (x \right )} + 3 \left(\tan^{2}{\left (x \right )} + 1\right) \cos{\left (x \right )} \sec{\left (x \right )} - \left(\sec{\left (x \right )} + 1\right) \cos{\left (x \right )} + \sin{\left (x \right )} \tan^{3}{\left (x \right )} \sec{\left (x \right )} - 3 \sin{\left (x \right )} \tan{\left (x \right )} \sec{\left (x \right )} + 3 \cos{\left (x \right )} \tan^{2}{\left (x \right )} \sec{\left (x \right )}$$