Производная 1+sin(x)/cos(x)

Вы ввели

    sin(x)
1 + ------
    cos(x)

$$\frac{\sin{\left(x \right)}}{\cos{\left(x \right)}} + 1$$

d /    sin(x)\
--|1 + ------|
dx\    cos(x)/

$$\frac{d}{d x} \left(\frac{\sin{\left(x \right)}}{\cos{\left(x \right)}} + 1\right)$$

Подробное решение

1. дифференцируем $\frac{\sin{\left(x \right)}}{\cos{\left(x \right)}} + 1$ почленно:

   1. Производная постоянной $1$ равна нулю.

   2. Применим правило производной частного:

      $\frac{d}{d x} \frac{f{\left(x \right)}}{g{\left(x \right)}} = \frac{- f{\left(x \right)} \frac{d}{d x} g{\left(x \right)} + g{\left(x \right)} \frac{d}{d x} f{\left(x \right)}}{g^{2}{\left(x \right)}}$

      $f{\left(x \right)} = \sin{\left(x \right)}$ и $g{\left(x \right)} = \cos{\left(x \right)}$.

      Чтобы найти $\frac{d}{d x} f{\left(x \right)}$:

      1. Производная синуса есть косинус:

         $\frac{d}{d x} \sin{\left(x \right)} = \cos{\left(x \right)}$

      Чтобы найти $\frac{d}{d x} g{\left(x \right)}$:

      1. Производная косинус есть минус синус:

         $\frac{d}{d x} \cos{\left(x \right)} = - \sin{\left(x \right)}$

      Теперь применим правило производной деления:

      $\frac{\sin^{2}{\left(x \right)} + \cos^{2}{\left(x \right)}}{\cos^{2}{\left(x \right)}}$

   В результате: $\frac{\sin^{2}{\left(x \right)} + \cos^{2}{\left(x \right)}}{\cos^{2}{\left(x \right)}}$

2. Теперь упростим:

   $\frac{1}{\cos^{2}{\left(x \right)}}$

---

Ответ:

$\frac{1}{\cos^{2}{\left(x \right)}}$

Первая производная

       2   
    sin (x)
1 + -------
       2   
    cos (x)

$$\frac{\sin^{2}{\left(x \right)}}{\cos^{2}{\left(x \right)}} + 1$$

Вторая производная

  /       2   \       
  |    sin (x)|       
2*|1 + -------|*sin(x)
  |       2   |       
  \    cos (x)/       
----------------------
        cos(x)        

$$\frac{2 \left(\frac{\sin^{2}{\left(x \right)}}{\cos^{2}{\left(x \right)}} + 1\right) \sin{\left(x \right)}}{\cos{\left(x \right)}}$$

Третья производная

  /         4           2   \
  |    3*sin (x)   4*sin (x)|
2*|1 + --------- + ---------|
  |        4           2    |
  \     cos (x)     cos (x) /

$$2 \cdot \left(\frac{3 \sin^{4}{\left(x \right)}}{\cos^{4}{\left(x \right)}} + \frac{4 \sin^{2}{\left(x \right)}}{\cos^{2}{\left(x \right)}} + 1\right)$$

График