Производная (1+tan(x))^8

Вы ввели

            8
(1 + tan(x)) 

$$\left(\tan{\left (x \right )} + 1\right)^{8}$$

Подробное решение

1. Заменим $u = \tan{\left (x \right )} + 1$.

2. В силу правила, применим: $u^{8}$ получим $8 u^{7}$

3. Затем примените цепочку правил. Умножим на $\frac{d}{d x}\left(\tan{\left (x \right )} + 1\right)$:

   1. дифференцируем $\tan{\left (x \right )} + 1$ почленно:

      1. Производная постоянной $1$ равна нулю.

      2. Есть несколько способов вычислить эту производную.

         Один из способов:

         1. $\frac{d}{d x} \tan{\left (x \right )} = \frac{1}{\cos^{2}{\left (x \right )}}$

      В результате: $\frac{1}{\cos^{2}{\left (x \right )}} \left(\sin^{2}{\left (x \right )} + \cos^{2}{\left (x \right )}\right)$

   В результате последовательности правил:

   $\frac{8 \left(\tan{\left (x \right )} + 1\right)^{7}}{\cos^{2}{\left (x \right )}} \left(\sin^{2}{\left (x \right )} + \cos^{2}{\left (x \right )}\right)$

4. Теперь упростим:

   $\frac{8 \left(\tan{\left (x \right )} + 1\right)^{7}}{\cos^{2}{\left (x \right )}}$

---

Ответ:

$\frac{8 \left(\tan{\left (x \right )} + 1\right)^{7}}{\cos^{2}{\left (x \right )}}$

Первая производная

            7 /         2   \
(1 + tan(x)) *\8 + 8*tan (x)/

$$\left(\tan{\left (x \right )} + 1\right)^{7} \left(8 \tan^{2}{\left (x \right )} + 8\right)$$

Вторая производная

              6 /       2   \ /         2                           \
8*(1 + tan(x)) *\1 + tan (x)/*\7 + 7*tan (x) + 2*(1 + tan(x))*tan(x)/

$$8 \left(\tan{\left (x \right )} + 1\right)^{6} \left(\tan^{2}{\left (x \right )} + 1\right) \left(2 \left(\tan{\left (x \right )} + 1\right) \tan{\left (x \right )} + 7 \tan^{2}{\left (x \right )} + 7\right)$$

Третья производная

                               /                2                                                                                               \
               5 /       2   \ |   /       2   \                2 /       2   \                 2    2         /       2   \                    |
16*(1 + tan(x)) *\1 + tan (x)/*\21*\1 + tan (x)/  + (1 + tan(x)) *\1 + tan (x)/ + 2*(1 + tan(x)) *tan (x) + 21*\1 + tan (x)/*(1 + tan(x))*tan(x)/

$$16 \left(\tan{\left (x \right )} + 1\right)^{5} \left(\tan^{2}{\left (x \right )} + 1\right) \left(\left(\tan{\left (x \right )} + 1\right)^{2} \left(\tan^{2}{\left (x \right )} + 1\right) + 2 \left(\tan{\left (x \right )} + 1\right)^{2} \tan^{2}{\left (x \right )} + 21 \left(\tan{\left (x \right )} + 1\right) \left(\tan^{2}{\left (x \right )} + 1\right) \tan{\left (x \right )} + 21 \left(\tan^{2}{\left (x \right )} + 1\right)^{2}\right)$$