Производная 5/(x*(x-5))

Вы ввели

    5    
---------
x*(x - 5)

$$\frac{5}{x \left(x - 5\right)}$$

Подробное решение

1. Производная произведения константы на функцию есть произведение этой константы на производную данной функции.

   1. Заменим $u = x \left(x - 5\right)$.

   2. В силу правила, применим: $\frac{1}{u}$ получим $- \frac{1}{u^{2}}$

   3. Затем примените цепочку правил. Умножим на $\frac{d}{d x}\left(x \left(x - 5\right)\right)$:

      1. Применяем правило производной умножения:

         $\frac{d}{d x}\left(f{\left (x \right )} g{\left (x \right )}\right) = f{\left (x \right )} \frac{d}{d x} g{\left (x \right )} + g{\left (x \right )} \frac{d}{d x} f{\left (x \right )}$

         $f{\left (x \right )} = x$; найдём $\frac{d}{d x} f{\left (x \right )}$:

         1. В силу правила, применим: $x$ получим $1$

         $g{\left (x \right )} = x - 5$; найдём $\frac{d}{d x} g{\left (x \right )}$:

         1. дифференцируем $x - 5$ почленно:

            1. В силу правила, применим: $x$ получим $1$

            2. Производная постоянной $-5$ равна нулю.

            В результате: $1$

         В результате: $2 x - 5$

      В результате последовательности правил:

      $- \frac{2 x - 5}{x^{2} \left(x - 5\right)^{2}}$

   Таким образом, в результате: $- \frac{10 x - 25}{x^{2} \left(x - 5\right)^{2}}$

2. Теперь упростим:

   $\frac{- 10 x + 25}{x^{2} \left(x - 5\right)^{2}}$

---

Ответ:

$\frac{- 10 x + 25}{x^{2} \left(x - 5\right)^{2}}$

Первая производная

5*(5 - 2*x)
-----------
 2        2
x *(x - 5) 

$$\frac{- 10 x + 25}{x^{2} \left(x - 5\right)^{2}}$$

Вторая производная

   /     -5 + 2*x   -5 + 2*x\
10*|-1 + -------- + --------|
   \        x        -5 + x /
-----------------------------
          2         2        
         x *(-5 + x)         

$$\frac{1}{x^{2} \left(x - 5\right)^{2}} \left(-10 + \frac{20 x - 50}{x - 5} + \frac{1}{x} \left(20 x - 50\right)\right)$$

Третья производная

   /4     4      3*(-5 + 2*x)   3*(-5 + 2*x)   4*(-5 + 2*x)\
10*|- + ------ - ------------ - ------------ - ------------|
   |x   -5 + x         2                 2      x*(-5 + x) |
   \                  x          (-5 + x)                  /
------------------------------------------------------------
                         2         2                        
                        x *(-5 + x)                         

$$\frac{1}{x^{2} \left(x - 5\right)^{2}} \left(\frac{40}{x - 5} - \frac{60 x - 150}{\left(x - 5\right)^{2}} + \frac{40}{x} - \frac{80 x - 200}{x \left(x - 5\right)} - \frac{1}{x^{2}} \left(60 x - 150\right)\right)$$