Производная 5/(x*(x+5))

Вы ввели

    5    
---------
x*(x + 5)

$$\frac{5}{x \left(x + 5\right)}$$

d /    5    \
--|---------|
dx\x*(x + 5)/

$$\frac{d}{d x} \frac{5}{x \left(x + 5\right)}$$

Подробное решение

1. Производная произведения константы на функцию есть произведение этой константы на производную данной функции.

   1. Заменим $u = x \left(x + 5\right)$.

   2. В силу правила, применим: $\frac{1}{u}$ получим $- \frac{1}{u^{2}}$

   3. Затем примените цепочку правил. Умножим на $\frac{d}{d x} x \left(x + 5\right)$:

      1. Применяем правило производной умножения:

         $\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} g{\left(x \right)} = f{\left(x \right)} \frac{d}{d x} g{\left(x \right)} + g{\left(x \right)} \frac{d}{d x} f{\left(x \right)}$

         $f{\left(x \right)} = x$; найдём $\frac{d}{d x} f{\left(x \right)}$:

         1. В силу правила, применим: $x$ получим $1$

         $g{\left(x \right)} = x + 5$; найдём $\frac{d}{d x} g{\left(x \right)}$:

         1. дифференцируем $x + 5$ почленно:

            1. В силу правила, применим: $x$ получим $1$

            2. Производная постоянной $5$ равна нулю.

            В результате: $1$

         В результате: $2 x + 5$

      В результате последовательности правил:

      $- \frac{2 x + 5}{x^{2} \left(x + 5\right)^{2}}$

   Таким образом, в результате: $- \frac{5 \cdot \left(2 x + 5\right)}{x^{2} \left(x + 5\right)^{2}}$

2. Теперь упростим:

   $\frac{5 \left(- 2 x - 5\right)}{x^{2} \left(x + 5\right)^{2}}$

---

Ответ:

$\frac{5 \left(- 2 x - 5\right)}{x^{2} \left(x + 5\right)^{2}}$

Первая производная

5*(-5 - 2*x)
------------
 2        2 
x *(x + 5)  

$$\frac{5 \left(- 2 x - 5\right)}{x^{2} \left(x + 5\right)^{2}}$$

Вторая производная

  /     5 + 2*x   5 + 2*x             /1     1  \\
5*|-2 + ------- + ------- + (5 + 2*x)*|- + -----||
  \        x       5 + x              \x   5 + x//
--------------------------------------------------
                    2        2                    
                   x *(5 + x)                     

$$\frac{5 \left(\left(2 x + 5\right) \left(\frac{1}{x + 5} + \frac{1}{x}\right) - 2 + \frac{2 x + 5}{x + 5} + \frac{2 x + 5}{x}\right)}{x^{2} \left(x + 5\right)^{2}}$$

Третья производная

   /                                                                                              /1     1  \             /1     1  \              \
   |                                                                                    (5 + 2*x)*|- + -----|   (5 + 2*x)*|- + -----|              |
   |  8     8                 /1       1           1    \   3*(5 + 2*x)   3*(5 + 2*x)             \x   5 + x/             \x   5 + x/   4*(5 + 2*x)|
-5*|- - - ----- + 2*(5 + 2*x)*|-- + -------- + ---------| + ----------- + ----------- + --------------------- + --------------------- + -----------|
   |  x   5 + x               | 2          2   x*(5 + x)|         2                2              x                     5 + x            x*(5 + x) |
   \                          \x    (5 + x)             /        x          (5 + x)                                                                /
----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
                                                                     2        2                                                                     
                                                                    x *(5 + x)                                                                      

$$- \frac{5 \cdot \left(2 \cdot \left(2 x + 5\right) \left(\frac{1}{\left(x + 5\right)^{2}} + \frac{1}{x \left(x + 5\right)} + \frac{1}{x^{2}}\right) + \frac{\left(2 x + 5\right) \left(\frac{1}{x + 5} + \frac{1}{x}\right)}{x + 5} - \frac{8}{x + 5} + \frac{3 \cdot \left(2 x + 5\right)}{\left(x + 5\right)^{2}} + \frac{\left(2 x + 5\right) \left(\frac{1}{x + 5} + \frac{1}{x}\right)}{x} - \frac{8}{x} + \frac{4 \cdot \left(2 x + 5\right)}{x \left(x + 5\right)} + \frac{3 \cdot \left(2 x + 5\right)}{x^{2}}\right)}{x^{2} \left(x + 5\right)^{2}}$$

График