Производная (5-x)*(log(5-x))

Вы ввели

(5 - x)*log(5 - x)

$$\left(- x + 5\right) \log{\left (- x + 5 \right )}$$

Подробное решение

1. Применяем правило производной умножения:

   $\frac{d}{d x}\left(f{\left (x \right )} g{\left (x \right )}\right) = f{\left (x \right )} \frac{d}{d x} g{\left (x \right )} + g{\left (x \right )} \frac{d}{d x} f{\left (x \right )}$

   $f{\left (x \right )} = - x + 5$; найдём $\frac{d}{d x} f{\left (x \right )}$:

   1. дифференцируем $- x + 5$ почленно:

      1. Производная постоянной $5$ равна нулю.

      2. Производная произведения константы на функцию есть произведение этой константы на производную данной функции.

         1. В силу правила, применим: $x$ получим $1$

         Таким образом, в результате: $-1$

      В результате: $-1$

   $g{\left (x \right )} = \log{\left (- x + 5 \right )}$; найдём $\frac{d}{d x} g{\left (x \right )}$:

   1. Заменим $u = - x + 5$.

   2. Производная $\log{\left (u \right )}$ является $\frac{1}{u}$.

   3. Затем примените цепочку правил. Умножим на $\frac{d}{d x}\left(- x + 5\right)$:

      1. дифференцируем $- x + 5$ почленно:

         1. Производная постоянной $5$ равна нулю.

         2. Производная произведения константы на функцию есть произведение этой константы на производную данной функции.

            1. В силу правила, применим: $x$ получим $1$

            Таким образом, в результате: $-1$

         В результате: $-1$

      В результате последовательности правил:

      $- \frac{1}{- x + 5}$

   В результате: $- \log{\left (- x + 5 \right )} - 1$

---

Ответ:

$- \log{\left (- x + 5 \right )} - 1$

Первая производная

-1 - log(5 - x)

$$- \log{\left (- x + 5 \right )} - 1$$

Вторая производная

 -1   
------
-5 + x

$$- \frac{1}{x - 5}$$

Третья производная

    1    
---------
        2
(-5 + x) 

$$\frac{1}{\left(x - 5\right)^{2}}$$