Производная 5^(log(sin(x)))

Вы ввели

 log(sin(x))
5           

$$5^{\log{\left(\sin{\left(x \right)} \right)}}$$

d / log(sin(x))\
--\5           /
dx              

$$\frac{d}{d x} 5^{\log{\left(\sin{\left(x \right)} \right)}}$$

Подробное решение

1. Заменим $u = \log{\left(\sin{\left(x \right)} \right)}$.

2. $\frac{d}{d u} 5^{u} = 5^{u} \log{\left(5 \right)}$

3. Затем примените цепочку правил. Умножим на $\frac{d}{d x} \log{\left(\sin{\left(x \right)} \right)}$:

   1. Заменим $u = \sin{\left(x \right)}$.

   2. Производная $\log{\left(u \right)}$ является $\frac{1}{u}$.

   3. Затем примените цепочку правил. Умножим на $\frac{d}{d x} \sin{\left(x \right)}$:

      1. Производная синуса есть косинус:

         $\frac{d}{d x} \sin{\left(x \right)} = \cos{\left(x \right)}$

      В результате последовательности правил:

      $\frac{\cos{\left(x \right)}}{\sin{\left(x \right)}}$

   В результате последовательности правил:

   $\frac{5^{\log{\left(\sin{\left(x \right)} \right)}} \log{\left(5 \right)} \cos{\left(x \right)}}{\sin{\left(x \right)}}$

4. Теперь упростим:

   $\frac{5^{\log{\left(\sin{\left(x \right)} \right)}} \log{\left(5 \right)}}{\tan{\left(x \right)}}$

---

Ответ:

$\frac{5^{\log{\left(\sin{\left(x \right)} \right)}} \log{\left(5 \right)}}{\tan{\left(x \right)}}$

Первая производная

 log(sin(x))              
5           *cos(x)*log(5)
--------------------------
          sin(x)          

$$\frac{5^{\log{\left(\sin{\left(x \right)} \right)}} \log{\left(5 \right)} \cos{\left(x \right)}}{\sin{\left(x \right)}}$$

Вторая производная

             /        2         2          \       
 log(sin(x)) |     cos (x)   cos (x)*log(5)|       
5           *|-1 - ------- + --------------|*log(5)
             |        2            2       |       
             \     sin (x)      sin (x)    /       

$$5^{\log{\left(\sin{\left(x \right)} \right)}} \left(-1 - \frac{\cos^{2}{\left(x \right)}}{\sin^{2}{\left(x \right)}} + \frac{\log{\left(5 \right)} \cos^{2}{\left(x \right)}}{\sin^{2}{\left(x \right)}}\right) \log{\left(5 \right)}$$

Третья производная

             /                    2         2       2           2          \              
 log(sin(x)) |               2*cos (x)   cos (x)*log (5)   3*cos (x)*log(5)|              
5           *|2 - 3*log(5) + --------- + --------------- - ----------------|*cos(x)*log(5)
             |                   2              2                 2        |              
             \                sin (x)        sin (x)           sin (x)     /              
------------------------------------------------------------------------------------------
                                          sin(x)                                          

$$\frac{5^{\log{\left(\sin{\left(x \right)} \right)}} \left(- 3 \log{\left(5 \right)} + 2 - \frac{3 \log{\left(5 \right)} \cos^{2}{\left(x \right)}}{\sin^{2}{\left(x \right)}} + \frac{2 \cos^{2}{\left(x \right)}}{\sin^{2}{\left(x \right)}} + \frac{\log{\left(5 \right)}^{2} \cos^{2}{\left(x \right)}}{\sin^{2}{\left(x \right)}}\right) \log{\left(5 \right)} \cos{\left(x \right)}}{\sin{\left(x \right)}}$$

График