Производная 5^(log(x)/x)

Вы ввели

 log(x)
 ------
   x   
5      

$$5^{\frac{1}{x} \log{\left (x \right )}}$$

Подробное решение

1. Заменим $u = \frac{1}{x} \log{\left (x \right )}$.

2. $\frac{d}{d u} 5^{u} = 5^{u} \log{\left (5 \right )}$

3. Затем примените цепочку правил. Умножим на $\frac{d}{d x}\left(\frac{1}{x} \log{\left (x \right )}\right)$:

   1. Применим правило производной частного:

      $\frac{d}{d x}\left(\frac{f{\left (x \right )}}{g{\left (x \right )}}\right) = \frac{1}{g^{2}{\left (x \right )}} \left(- f{\left (x \right )} \frac{d}{d x} g{\left (x \right )} + g{\left (x \right )} \frac{d}{d x} f{\left (x \right )}\right)$

      $f{\left (x \right )} = \log{\left (x \right )}$ и $g{\left (x \right )} = x$.

      Чтобы найти $\frac{d}{d x} f{\left (x \right )}$:

      1. Производная $\log{\left (x \right )}$ является $\frac{1}{x}$.

      Чтобы найти $\frac{d}{d x} g{\left (x \right )}$:

      1. В силу правила, применим: $x$ получим $1$

      Теперь применим правило производной деления:

      $\frac{1}{x^{2}} \left(- \log{\left (x \right )} + 1\right)$

   В результате последовательности правил:

   $\frac{1}{x^{2}} 5^{\frac{1}{x} \log{\left (x \right )}} \left(- \log{\left (x \right )} + 1\right) \log{\left (5 \right )}$

4. Теперь упростим:

   $- \frac{1}{x^{2}} 5^{\frac{1}{x} \log{\left (x \right )}} \left(\log{\left (x \right )} - 1\right) \log{\left (5 \right )}$

---

Ответ:

$- \frac{1}{x^{2}} 5^{\frac{1}{x} \log{\left (x \right )}} \left(\log{\left (x \right )} - 1\right) \log{\left (5 \right )}$

Первая производная

 log(x)                     
 ------                     
   x    /1    log(x)\       
5      *|-- - ------|*log(5)
        | 2      2  |       
        \x      x   /       

$$5^{\frac{1}{x} \log{\left (x \right )}} \left(- \frac{1}{x^{2}} \log{\left (x \right )} + \frac{1}{x^{2}}\right) \log{\left (5 \right )}$$

Вторая производная

 log(x)                                               
 ------ /                             2       \       
   x    |                (-1 + log(x)) *log(5)|       
5      *|-3 + 2*log(x) + ---------------------|*log(5)
        \                          x          /       
------------------------------------------------------
                           3                          
                          x                           

$$\frac{1}{x^{3}} 5^{\frac{1}{x} \log{\left (x \right )}} \left(2 \log{\left (x \right )} - 3 + \frac{1}{x} \left(\log{\left (x \right )} - 1\right)^{2} \log{\left (5 \right )}\right) \log{\left (5 \right )}$$

Третья производная

  log(x)                                                                                           
  ------ /                              3    2                                            \        
    x    |                 (-1 + log(x)) *log (5)   3*(-1 + log(x))*(-3 + 2*log(x))*log(5)|        
-5      *|-11 + 6*log(x) + ---------------------- + --------------------------------------|*log(5) 
         |                            2                               x                   |        
         \                           x                                                    /        
---------------------------------------------------------------------------------------------------
                                                  4                                                
                                                 x                                                 

$$- \frac{1}{x^{4}} 5^{\frac{1}{x} \log{\left (x \right )}} \left(6 \log{\left (x \right )} - 11 + \frac{3}{x} \left(\log{\left (x \right )} - 1\right) \left(2 \log{\left (x \right )} - 3\right) \log{\left (5 \right )} + \frac{1}{x^{2}} \left(\log{\left (x \right )} - 1\right)^{3} \log^{2}{\left (5 \right )}\right) \log{\left (5 \right )}$$