Производная 5^(1/x)

Вы ввели

x ___
\/ 5 

$$5^{1 \cdot \frac{1}{x}}$$

d /x ___\
--\\/ 5 /
dx       

$$\frac{d}{d x} 5^{1 \cdot \frac{1}{x}}$$

Подробное решение

1. Заменим $u = 1 \cdot \frac{1}{x}$.

2. $\frac{d}{d u} 5^{u} = 5^{u} \log{\left(5 \right)}$

3. Затем примените цепочку правил. Умножим на $\frac{d}{d x} 1 \cdot \frac{1}{x}$:

   1. Применим правило производной частного:

      $\frac{d}{d x} \frac{f{\left(x \right)}}{g{\left(x \right)}} = \frac{- f{\left(x \right)} \frac{d}{d x} g{\left(x \right)} + g{\left(x \right)} \frac{d}{d x} f{\left(x \right)}}{g^{2}{\left(x \right)}}$

      $f{\left(x \right)} = 1$ и $g{\left(x \right)} = x$.

      Чтобы найти $\frac{d}{d x} f{\left(x \right)}$:

      1. Производная постоянной $1$ равна нулю.

      Чтобы найти $\frac{d}{d x} g{\left(x \right)}$:

      1. В силу правила, применим: $x$ получим $1$

      Теперь применим правило производной деления:

      $- \frac{1}{x^{2}}$

   В результате последовательности правил:

   $- \frac{5^{\frac{1}{x}} \log{\left(5 \right)}}{x^{2}}$

---

Ответ:

$- \frac{5^{\frac{1}{x}} \log{\left(5 \right)}}{x^{2}}$

Первая производная

 x ___        
-\/ 5 *log(5) 
--------------
       2      
      x       

$$- \frac{5^{\frac{1}{x}} \log{\left(5 \right)}}{x^{2}}$$

Вторая производная

x ___ /    log(5)\       
\/ 5 *|2 + ------|*log(5)
      \      x   /       
-------------------------
             3           
            x            

$$\frac{5^{\frac{1}{x}} \left(2 + \frac{\log{\left(5 \right)}}{x}\right) \log{\left(5 \right)}}{x^{3}}$$

Третья производная

       /       2              \        
 x ___ |    log (5)   6*log(5)|        
-\/ 5 *|6 + ------- + --------|*log(5) 
       |        2        x    |        
       \       x              /        
---------------------------------------
                    4                  
                   x                   

$$- \frac{5^{\frac{1}{x}} \left(6 + \frac{6 \log{\left(5 \right)}}{x} + \frac{\log{\left(5 \right)}^{2}}{x^{2}}\right) \log{\left(5 \right)}}{x^{4}}$$

График