Производная 5^tan(x)^(4)

Вы ввели

    4   
 tan (x)
5       

$$5^{\tan^{4}{\left (x \right )}}$$

Подробное решение

1. Заменим $u = \tan^{4}{\left (x \right )}$.

2. $\frac{d}{d u} 5^{u} = 5^{u} \log{\left (5 \right )}$

3. Затем примените цепочку правил. Умножим на $\frac{d}{d x} \tan^{4}{\left (x \right )}$:

   1. Заменим $u = \tan{\left (x \right )}$.

   2. В силу правила, применим: $u^{4}$ получим $4 u^{3}$

   3. Затем примените цепочку правил. Умножим на $\frac{d}{d x} \tan{\left (x \right )}$:

      1. Есть несколько способов вычислить эту производную.

         Один из способов:

         1. $\frac{d}{d x} \tan{\left (x \right )} = \frac{1}{\cos^{2}{\left (x \right )}}$

      В результате последовательности правил:

      $\frac{4 \tan^{3}{\left (x \right )}}{\cos^{2}{\left (x \right )}} \left(\sin^{2}{\left (x \right )} + \cos^{2}{\left (x \right )}\right)$

   В результате последовательности правил:

   $\frac{4 \cdot 5^{\tan^{4}{\left (x \right )}}}{\cos^{2}{\left (x \right )}} \left(\sin^{2}{\left (x \right )} + \cos^{2}{\left (x \right )}\right) \log{\left (5 \right )} \tan^{3}{\left (x \right )}$

4. Теперь упростим:

   $\frac{5^{\tan^{4}{\left (x \right )}} \tan^{3}{\left (x \right )}}{\cos^{2}{\left (x \right )}} \log{\left (625 \right )}$

---

Ответ:

$\frac{5^{\tan^{4}{\left (x \right )}} \tan^{3}{\left (x \right )}}{\cos^{2}{\left (x \right )}} \log{\left (625 \right )}$

Первая производная

    4                                  
 tan (x)    3    /         2   \       
5       *tan (x)*\4 + 4*tan (x)/*log(5)

$$5^{\tan^{4}{\left (x \right )}} \left(4 \tan^{2}{\left (x \right )} + 4\right) \log{\left (5 \right )} \tan^{3}{\left (x \right )}$$

Вторая производная

      4                                                                                 
   tan (x)    2    /       2   \ /         2           4    /       2   \       \       
4*5       *tan (x)*\1 + tan (x)/*\3 + 5*tan (x) + 4*tan (x)*\1 + tan (x)/*log(5)/*log(5)

$$4 \cdot 5^{\tan^{4}{\left (x \right )}} \left(\tan^{2}{\left (x \right )} + 1\right) \left(4 \left(\tan^{2}{\left (x \right )} + 1\right) \log{\left (5 \right )} \tan^{4}{\left (x \right )} + 5 \tan^{2}{\left (x \right )} + 3\right) \log{\left (5 \right )} \tan^{2}{\left (x \right )}$$

Третья производная

      4                  /                           2                                             2                                                                     2               \              
   tan (x) /       2   \ |     4        /       2   \          2    /       2   \     /       2   \     2       8            6    /       2   \             /       2   \     4          |              
8*5       *\1 + tan (x)/*\2*tan (x) + 3*\1 + tan (x)/  + 10*tan (x)*\1 + tan (x)/ + 8*\1 + tan (x)/ *log (5)*tan (x) + 12*tan (x)*\1 + tan (x)/*log(5) + 18*\1 + tan (x)/ *tan (x)*log(5)/*log(5)*tan(x)

$$8 \cdot 5^{\tan^{4}{\left (x \right )}} \left(\tan^{2}{\left (x \right )} + 1\right) \left(8 \left(\tan^{2}{\left (x \right )} + 1\right)^{2} \log^{2}{\left (5 \right )} \tan^{8}{\left (x \right )} + 18 \left(\tan^{2}{\left (x \right )} + 1\right)^{2} \log{\left (5 \right )} \tan^{4}{\left (x \right )} + 3 \left(\tan^{2}{\left (x \right )} + 1\right)^{2} + 12 \left(\tan^{2}{\left (x \right )} + 1\right) \log{\left (5 \right )} \tan^{6}{\left (x \right )} + 10 \left(\tan^{2}{\left (x \right )} + 1\right) \tan^{2}{\left (x \right )} + 2 \tan^{4}{\left (x \right )}\right) \log{\left (5 \right )} \tan{\left (x \right )}$$