Производная 5^(3-tan(x))

Вы ввели

 3 - tan(x)
5          

$$5^{- \tan{\left (x \right )} + 3}$$

Подробное решение

1. Заменим $u = - \tan{\left (x \right )} + 3$.

2. $\frac{d}{d u} 5^{u} = 5^{u} \log{\left (5 \right )}$

3. Затем примените цепочку правил. Умножим на $\frac{d}{d x}\left(- \tan{\left (x \right )} + 3\right)$:

   1. дифференцируем $- \tan{\left (x \right )} + 3$ почленно:

      1. Производная постоянной $3$ равна нулю.

      2. Производная произведения константы на функцию есть произведение этой константы на производную данной функции.

         1. Есть несколько способов вычислить эту производную.

            Один из способов:

            1. $\frac{d}{d x} \tan{\left (x \right )} = \frac{1}{\cos^{2}{\left (x \right )}}$

         Таким образом, в результате: $- \frac{1}{\cos^{2}{\left (x \right )}} \left(\sin^{2}{\left (x \right )} + \cos^{2}{\left (x \right )}\right)$

      В результате: $- \frac{1}{\cos^{2}{\left (x \right )}} \left(\sin^{2}{\left (x \right )} + \cos^{2}{\left (x \right )}\right)$

   В результате последовательности правил:

   $- \frac{5^{- \tan{\left (x \right )} + 3}}{\cos^{2}{\left (x \right )}} \left(\sin^{2}{\left (x \right )} + \cos^{2}{\left (x \right )}\right) \log{\left (5 \right )}$

4. Теперь упростим:

   $- \frac{5^{- \tan{\left (x \right )}}}{\cos^{2}{\left (x \right )}} \log{\left (2350988701644575015937473074444491355637331113544175043017503412556834518909454345703125 \right )}$

---

Ответ:

$- \frac{5^{- \tan{\left (x \right )}}}{\cos^{2}{\left (x \right )}} \log{\left (2350988701644575015937473074444491355637331113544175043017503412556834518909454345703125 \right )}$

Первая производная

 3 - tan(x) /        2   \       
5          *\-1 - tan (x)/*log(5)

$$5^{- \tan{\left (x \right )} + 3} \left(- \tan^{2}{\left (x \right )} - 1\right) \log{\left (5 \right )}$$

Вторая производная

     -tan(x) /       2   \ /            /       2   \       \       
125*5       *\1 + tan (x)/*\-2*tan(x) + \1 + tan (x)/*log(5)/*log(5)

$$125 \cdot 5^{- \tan{\left (x \right )}} \left(\left(\tan^{2}{\left (x \right )} + 1\right) \log{\left (5 \right )} - 2 \tan{\left (x \right )}\right) \left(\tan^{2}{\left (x \right )} + 1\right) \log{\left (5 \right )}$$

Третья производная

                           /                              2                                        \       
     -tan(x) /       2   \ |          2      /       2   \     2        /       2   \              |       
125*5       *\1 + tan (x)/*\-2 - 6*tan (x) - \1 + tan (x)/ *log (5) + 6*\1 + tan (x)/*log(5)*tan(x)/*log(5)

$$125 \cdot 5^{- \tan{\left (x \right )}} \left(\tan^{2}{\left (x \right )} + 1\right) \left(- \left(\tan^{2}{\left (x \right )} + 1\right)^{2} \log^{2}{\left (5 \right )} + 6 \left(\tan^{2}{\left (x \right )} + 1\right) \log{\left (5 \right )} \tan{\left (x \right )} - 6 \tan^{2}{\left (x \right )} - 2\right) \log{\left (5 \right )}$$