Производная 5^x/log(x)

Вы ввели

   x  
  5   
------
log(x)

$$\frac{5^{x}}{\log{\left (x \right )}}$$

Подробное решение

1. Применим правило производной частного:

   $\frac{d}{d x}\left(\frac{f{\left (x \right )}}{g{\left (x \right )}}\right) = \frac{1}{g^{2}{\left (x \right )}} \left(- f{\left (x \right )} \frac{d}{d x} g{\left (x \right )} + g{\left (x \right )} \frac{d}{d x} f{\left (x \right )}\right)$

   $f{\left (x \right )} = 5^{x}$ и $g{\left (x \right )} = \log{\left (x \right )}$.

   Чтобы найти $\frac{d}{d x} f{\left (x \right )}$:

   1. $\frac{d}{d x} 5^{x} = 5^{x} \log{\left (5 \right )}$

   Чтобы найти $\frac{d}{d x} g{\left (x \right )}$:

   1. Производная $\log{\left (x \right )}$ является $\frac{1}{x}$.

   Теперь применим правило производной деления:

   $\frac{1}{\log^{2}{\left (x \right )}} \left(5^{x} \log{\left (5 \right )} \log{\left (x \right )} - \frac{5^{x}}{x}\right)$

2. Теперь упростим:

   $\frac{5^{x}}{x \log^{2}{\left (x \right )}} \left(x \log{\left (5 \right )} \log{\left (x \right )} - 1\right)$

---

Ответ:

$\frac{5^{x}}{x \log^{2}{\left (x \right )}} \left(x \log{\left (5 \right )} \log{\left (x \right )} - 1\right)$

Первая производная

 x               x   
5 *log(5)       5    
--------- - ---------
  log(x)         2   
            x*log (x)

$$\frac{5^{x} \log{\left (5 \right )}}{\log{\left (x \right )}} - \frac{5^{x}}{x \log^{2}{\left (x \right )}}$$

Вторая производная

 x /   2          1           2        2*log(5)\
5 *|log (5) + --------- + ---------- - --------|
   |           2           2    2      x*log(x)|
   \          x *log(x)   x *log (x)           /
------------------------------------------------
                     log(x)                     

$$\frac{5^{x}}{\log{\left (x \right )}} \left(\log^{2}{\left (5 \right )} - \frac{2 \log{\left (5 \right )}}{x \log{\left (x \right )}} + \frac{1}{x^{2} \log{\left (x \right )}} + \frac{2}{x^{2} \log^{2}{\left (x \right )}}\right)$$

Третья производная

   /                                                     2                            \
 x |   3          6            6            2       3*log (5)    3*log(5)    6*log(5) |
5 *|log (5) - ---------- - ---------- - --------- - --------- + --------- + ----------|
   |           3    3       3    2       3           x*log(x)    2           2    2   |
   \          x *log (x)   x *log (x)   x *log(x)               x *log(x)   x *log (x)/
---------------------------------------------------------------------------------------
                                         log(x)                                        

$$\frac{5^{x}}{\log{\left (x \right )}} \left(\log^{3}{\left (5 \right )} - \frac{3 \log^{2}{\left (5 \right )}}{x \log{\left (x \right )}} + \frac{3 \log{\left (5 \right )}}{x^{2} \log{\left (x \right )}} + \frac{6 \log{\left (5 \right )}}{x^{2} \log^{2}{\left (x \right )}} - \frac{2}{x^{3} \log{\left (x \right )}} - \frac{6}{x^{3} \log^{2}{\left (x \right )}} - \frac{6}{x^{3} \log^{3}{\left (x \right )}}\right)$$