Производная 5^x*tan(x)

Вы ввели

 x       
5 *tan(x)

$$5^{x} \tan{\left (x \right )}$$

Подробное решение

1. Применяем правило производной умножения:

   $\frac{d}{d x}\left(f{\left (x \right )} g{\left (x \right )}\right) = f{\left (x \right )} \frac{d}{d x} g{\left (x \right )} + g{\left (x \right )} \frac{d}{d x} f{\left (x \right )}$

   $f{\left (x \right )} = 5^{x}$; найдём $\frac{d}{d x} f{\left (x \right )}$:

   1. $\frac{d}{d x} 5^{x} = 5^{x} \log{\left (5 \right )}$

   $g{\left (x \right )} = \tan{\left (x \right )}$; найдём $\frac{d}{d x} g{\left (x \right )}$:

   1. Есть несколько способов вычислить эту производную.

      Один из способов:

      1. $\frac{d}{d x} \tan{\left (x \right )} = \frac{1}{\cos^{2}{\left (x \right )}}$

   В результате: $\frac{5^{x}}{\cos^{2}{\left (x \right )}} \left(\sin^{2}{\left (x \right )} + \cos^{2}{\left (x \right )}\right) + 5^{x} \log{\left (5 \right )} \tan{\left (x \right )}$

2. Теперь упростим:

   $\frac{5^{x}}{\cos^{2}{\left (x \right )}} \left(\frac{1}{2} \log{\left (5 \right )} \sin{\left (2 x \right )} + 1\right)$

---

Ответ:

$\frac{5^{x}}{\cos^{2}{\left (x \right )}} \left(\frac{1}{2} \log{\left (5 \right )} \sin{\left (2 x \right )} + 1\right)$

Первая производная

 x /       2   \    x              
5 *\1 + tan (x)/ + 5 *log(5)*tan(x)

$$5^{x} \left(\tan^{2}{\left (x \right )} + 1\right) + 5^{x} \log{\left (5 \right )} \tan{\left (x \right )}$$

Вторая производная

 x /   2               /       2   \            /       2   \       \
5 *\log (5)*tan(x) + 2*\1 + tan (x)/*log(5) + 2*\1 + tan (x)/*tan(x)/

$$5^{x} \left(2 \left(\tan^{2}{\left (x \right )} + 1\right) \tan{\left (x \right )} + 2 \left(\tan^{2}{\left (x \right )} + 1\right) \log{\left (5 \right )} + \log^{2}{\left (5 \right )} \tan{\left (x \right )}\right)$$

Третья производная

   /               2                                                                                                     \
 x |  /       2   \       3                  2    /       2   \        2    /       2   \     /       2   \              |
5 *\2*\1 + tan (x)/  + log (5)*tan(x) + 3*log (5)*\1 + tan (x)/ + 4*tan (x)*\1 + tan (x)/ + 6*\1 + tan (x)/*log(5)*tan(x)/

$$5^{x} \left(2 \left(\tan^{2}{\left (x \right )} + 1\right)^{2} + 4 \left(\tan^{2}{\left (x \right )} + 1\right) \tan^{2}{\left (x \right )} + 6 \left(\tan^{2}{\left (x \right )} + 1\right) \log{\left (5 \right )} \tan{\left (x \right )} + 3 \left(\tan^{2}{\left (x \right )} + 1\right) \log^{2}{\left (5 \right )} + \log^{3}{\left (5 \right )} \tan{\left (x \right )}\right)$$