Производная sec(tan(sqrt(x)))

Вы ввели

   /   /  ___\\
sec\tan\\/ x //

$$\sec{\left (\tan{\left (\sqrt{x} \right )} \right )}$$

Подробное решение

1. Есть несколько способов вычислить эту производную.

   Один из способов:

   1. Заменим $u = \tan{\left (\sqrt{x} \right )}$.

   2. Производная секанса есть секанс, умноженный на тангенс:

      $\frac{d}{d u} \sec{\left (u \right )} = \tan{\left (u \right )} \sec{\left (u \right )}$

   3. Затем примените цепочку правил. Умножим на $\frac{d}{d x} \tan{\left (\sqrt{x} \right )}$:

      1. Есть несколько способов вычислить эту производную.

         Один из способов:

         1. Заменим $u = \sqrt{x}$.

         2. $\frac{d}{d u} \tan{\left (u \right )} = \frac{1}{\cos^{2}{\left (u \right )}}$

         3. Затем примените цепочку правил. Умножим на $\frac{d}{d x} \sqrt{x}$:

            1. В силу правила, применим: $\sqrt{x}$ получим $\frac{1}{2 \sqrt{x}}$

            В результате последовательности правил:

            $\frac{1}{2 \sqrt{x} \cos^{2}{\left (\sqrt{x} \right )}}$

      В результате последовательности правил:

      $\frac{\sec{\left (\tan{\left (\sqrt{x} \right )} \right )}}{\cos^{2}{\left (\sqrt{x} \right )}} \left(\frac{\sin^{2}{\left (\sqrt{x} \right )}}{2 \sqrt{x}} + \frac{\cos^{2}{\left (\sqrt{x} \right )}}{2 \sqrt{x}}\right) \tan{\left (\tan{\left (\sqrt{x} \right )} \right )}$

2. Теперь упростим:

   $\frac{\sin{\left (\tan{\left (\sqrt{x} \right )} \right )}}{2 \sqrt{x} \cos^{2}{\left (\sqrt{x} \right )} \cos^{2}{\left (\tan{\left (\sqrt{x} \right )} \right )}}$

---

Ответ:

$\frac{\sin{\left (\tan{\left (\sqrt{x} \right )} \right )}}{2 \sqrt{x} \cos^{2}{\left (\sqrt{x} \right )} \cos^{2}{\left (\tan{\left (\sqrt{x} \right )} \right )}}$

Первая производная

/       2/  ___\\    /   /  ___\\    /   /  ___\\
\1 + tan \\/ x //*sec\tan\\/ x //*tan\tan\\/ x //
-------------------------------------------------
                         ___                     
                     2*\/ x                      

$$\frac{1}{2 \sqrt{x}} \left(\tan^{2}{\left (\sqrt{x} \right )} + 1\right) \tan{\left (\tan{\left (\sqrt{x} \right )} \right )} \sec{\left (\tan{\left (\sqrt{x} \right )} \right )}$$

Вторая производная

                  /     /   /  ___\\      2/   /  ___\\ /       2/  ___\\   /       2/  ___\\ /       2/   /  ___\\\        /  ___\    /   /  ___\\\                
/       2/  ___\\ |  tan\tan\\/ x //   tan \tan\\/ x //*\1 + tan \\/ x //   \1 + tan \\/ x //*\1 + tan \tan\\/ x ///   2*tan\\/ x /*tan\tan\\/ x //|    /   /  ___\\
\1 + tan \\/ x //*|- --------------- + ---------------------------------- + ---------------------------------------- + ----------------------------|*sec\tan\\/ x //
                  |         3/2                        x                                       x                                    x              |                
                  \        x                                                                                                                       /                
--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
                                                                                 4                                                                                  

$$\frac{1}{4} \left(\tan^{2}{\left (\sqrt{x} \right )} + 1\right) \left(\frac{1}{x} \left(\tan^{2}{\left (\sqrt{x} \right )} + 1\right) \left(\tan^{2}{\left (\tan{\left (\sqrt{x} \right )} \right )} + 1\right) + \frac{1}{x} \left(\tan^{2}{\left (\sqrt{x} \right )} + 1\right) \tan^{2}{\left (\tan{\left (\sqrt{x} \right )} \right )} + \frac{2}{x} \tan{\left (\sqrt{x} \right )} \tan{\left (\tan{\left (\sqrt{x} \right )} \right )} - \frac{1}{x^{\frac{3}{2}}} \tan{\left (\tan{\left (\sqrt{x} \right )} \right )}\right) \sec{\left (\tan{\left (\sqrt{x} \right )} \right )}$$

Третья производная

                  /                                     2                                                                                                                                                                                                                                2                                                                                                                                                 \                
                  |     /   /  ___\\   /       2/  ___\\     3/   /  ___\\        /  ___\    /   /  ___\\        2/   /  ___\\ /       2/  ___\\     /       2/  ___\\ /       2/   /  ___\\\     /       2/  ___\\    /   /  ___\\        2/  ___\    /   /  ___\\     /       2/  ___\\  /       2/   /  ___\\\    /   /  ___\\        2/   /  ___\\ /       2/  ___\\    /  ___\     /       2/  ___\\ /       2/   /  ___\\\    /  ___\|                
/       2/  ___\\ |3*tan\tan\\/ x //   \1 + tan \\/ x // *tan \tan\\/ x //   6*tan\\/ x /*tan\tan\\/ x //   3*tan \tan\\/ x //*\1 + tan \\/ x //   3*\1 + tan \\/ x //*\1 + tan \tan\\/ x ///   2*\1 + tan \\/ x //*tan\tan\\/ x //   4*tan \\/ x /*tan\tan\\/ x //   5*\1 + tan \\/ x // *\1 + tan \tan\\/ x ///*tan\tan\\/ x //   6*tan \tan\\/ x //*\1 + tan \\/ x //*tan\\/ x /   6*\1 + tan \\/ x //*\1 + tan \tan\\/ x ///*tan\\/ x /|    /   /  ___\\
\1 + tan \\/ x //*|----------------- + ----------------------------------- - ---------------------------- - ------------------------------------ - ------------------------------------------ + ----------------------------------- + ----------------------------- + ----------------------------------------------------------- + ----------------------------------------------- + -----------------------------------------------------|*sec\tan\\/ x //
                  |        5/2                          3/2                                2                                  2                                         2                                        3/2                                3/2                                            3/2                                                     3/2                                                  3/2                        |                
                  \       x                            x                                  x                                  x                                         x                                        x                                  x                                              x                                                       x                                                    x                           /                
------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
                                                                                                                                                                                                                             8                                                                                                                                                                                                                              

$$\frac{1}{8} \left(\tan^{2}{\left (\sqrt{x} \right )} + 1\right) \left(- \frac{3}{x^{2}} \left(\tan^{2}{\left (\sqrt{x} \right )} + 1\right) \left(\tan^{2}{\left (\tan{\left (\sqrt{x} \right )} \right )} + 1\right) - \frac{3}{x^{2}} \left(\tan^{2}{\left (\sqrt{x} \right )} + 1\right) \tan^{2}{\left (\tan{\left (\sqrt{x} \right )} \right )} - \frac{6}{x^{2}} \tan{\left (\sqrt{x} \right )} \tan{\left (\tan{\left (\sqrt{x} \right )} \right )} + \frac{5}{x^{\frac{3}{2}}} \left(\tan^{2}{\left (\sqrt{x} \right )} + 1\right)^{2} \left(\tan^{2}{\left (\tan{\left (\sqrt{x} \right )} \right )} + 1\right) \tan{\left (\tan{\left (\sqrt{x} \right )} \right )} + \frac{1}{x^{\frac{3}{2}}} \left(\tan^{2}{\left (\sqrt{x} \right )} + 1\right)^{2} \tan^{3}{\left (\tan{\left (\sqrt{x} \right )} \right )} + \frac{6}{x^{\frac{3}{2}}} \left(\tan^{2}{\left (\sqrt{x} \right )} + 1\right) \left(\tan^{2}{\left (\tan{\left (\sqrt{x} \right )} \right )} + 1\right) \tan{\left (\sqrt{x} \right )} + \frac{6}{x^{\frac{3}{2}}} \left(\tan^{2}{\left (\sqrt{x} \right )} + 1\right) \tan{\left (\sqrt{x} \right )} \tan^{2}{\left (\tan{\left (\sqrt{x} \right )} \right )} + \frac{2}{x^{\frac{3}{2}}} \left(\tan^{2}{\left (\sqrt{x} \right )} + 1\right) \tan{\left (\tan{\left (\sqrt{x} \right )} \right )} + \frac{4}{x^{\frac{3}{2}}} \tan^{2}{\left (\sqrt{x} \right )} \tan{\left (\tan{\left (\sqrt{x} \right )} \right )} + \frac{3}{x^{\frac{5}{2}}} \tan{\left (\tan{\left (\sqrt{x} \right )} \right )}\right) \sec{\left (\tan{\left (\sqrt{x} \right )} \right )}$$