Производная sec(x/a)^(2)

Вы ввели

   2/x\
sec |-|
    \a/

$$\sec^{2}{\left (\frac{x}{a} \right )}$$

Подробное решение

1. Заменим $u = \sec{\left (\frac{x}{a} \right )}$.

2. В силу правила, применим: $u^{2}$ получим $2 u$

3. Затем примените цепочку правил. Умножим на $\frac{\partial}{\partial x} \sec{\left (\frac{x}{a} \right )}$:

   1. Есть несколько способов вычислить эту производную.

      Один из способов:

      1. Заменим $u = \frac{x}{a}$.

      2. Производная секанса есть секанс, умноженный на тангенс:

         $\frac{d}{d u} \sec{\left (u \right )} = \tan{\left (u \right )} \sec{\left (u \right )}$

      3. Затем примените цепочку правил. Умножим на $\frac{\partial}{\partial x}\left(\frac{x}{a}\right)$:

         1. Производная произведения константы на функцию есть произведение этой константы на производную данной функции.

            1. В силу правила, применим: $x$ получим $1$

            Таким образом, в результате: $\frac{1}{a}$

         В результате последовательности правил:

         $\frac{1}{a} \tan{\left (\frac{x}{a} \right )} \sec{\left (\frac{x}{a} \right )}$

   В результате последовательности правил:

   $\frac{2 \sin{\left (\frac{x}{a} \right )} \sec{\left (\frac{x}{a} \right )}}{a \cos^{2}{\left (\frac{x}{a} \right )}}$

4. Теперь упростим:

   $\frac{2 \sin{\left (\frac{x}{a} \right )}}{a \cos^{3}{\left (\frac{x}{a} \right )}}$

---

Ответ:

$\frac{2 \sin{\left (\frac{x}{a} \right )}}{a \cos^{3}{\left (\frac{x}{a} \right )}}$

Первая производная

     2/x\    /x\
2*sec |-|*tan|-|
      \a/    \a/
----------------
       a        

$$\frac{2}{a} \tan{\left (\frac{x}{a} \right )} \sec^{2}{\left (\frac{x}{a} \right )}$$

Вторая производная

     2/x\ /         2/x\\
2*sec |-|*|1 + 3*tan |-||
      \a/ \          \a//
-------------------------
             2           
            a            

$$\frac{2}{a^{2}} \left(3 \tan^{2}{\left (\frac{x}{a} \right )} + 1\right) \sec^{2}{\left (\frac{x}{a} \right )}$$

Третья производная

     2/x\ /         2/x\\    /x\
8*sec |-|*|2 + 3*tan |-||*tan|-|
      \a/ \          \a//    \a/
--------------------------------
                3               
               a                

$$\frac{8}{a^{3}} \left(3 \tan^{2}{\left (\frac{x}{a} \right )} + 2\right) \tan{\left (\frac{x}{a} \right )} \sec^{2}{\left (\frac{x}{a} \right )}$$