Производная sec(x)/x

Вы ввели

sec(x)
------
  x   

$$\frac{1}{x} \sec{\left (x \right )}$$

Подробное решение

1. Применим правило производной частного:

   $\frac{d}{d x}\left(\frac{f{\left (x \right )}}{g{\left (x \right )}}\right) = \frac{1}{g^{2}{\left (x \right )}} \left(- f{\left (x \right )} \frac{d}{d x} g{\left (x \right )} + g{\left (x \right )} \frac{d}{d x} f{\left (x \right )}\right)$

   $f{\left (x \right )} = \sec{\left (x \right )}$ и $g{\left (x \right )} = x$.

   Чтобы найти $\frac{d}{d x} f{\left (x \right )}$:

   1. Есть несколько способов вычислить эту производную.

      Один из способов:

      1. Производная секанса есть секанс, умноженный на тангенс:

         $\frac{d}{d x} \sec{\left (x \right )} = \tan{\left (x \right )} \sec{\left (x \right )}$

   Чтобы найти $\frac{d}{d x} g{\left (x \right )}$:

   1. В силу правила, применим: $x$ получим $1$

   Теперь применим правило производной деления:

   $\frac{1}{x^{2}} \left(\frac{x \sin{\left (x \right )}}{\cos^{2}{\left (x \right )}} - \sec{\left (x \right )}\right)$

2. Теперь упростим:

   $\frac{x \sin{\left (x \right )} - \cos{\left (x \right )}}{x^{2} \cos^{2}{\left (x \right )}}$

---

Ответ:

$\frac{x \sin{\left (x \right )} - \cos{\left (x \right )}}{x^{2} \cos^{2}{\left (x \right )}}$

Первая производная

  sec(x)   sec(x)*tan(x)
- ------ + -------------
     2           x      
    x                   

$$\frac{1}{x} \tan{\left (x \right )} \sec{\left (x \right )} - \frac{1}{x^{2}} \sec{\left (x \right )}$$

Вторая производная

/    2         2      2*tan(x)\       
|1 + -- + 2*tan (x) - --------|*sec(x)
|     2                  x    |       
\    x                        /       
--------------------------------------
                  x                   

$$\frac{1}{x} \left(2 \tan^{2}{\left (x \right )} + 1 - \frac{2}{x} \tan{\left (x \right )} + \frac{2}{x^{2}}\right) \sec{\left (x \right )}$$

Третья производная

/                    2        /       2   \                                    \       
|   3      6    3*tan (x)   3*\1 + tan (x)/     /       2   \          6*tan(x)|       
|tan (x) - -- - --------- - --------------- + 5*\1 + tan (x)/*tan(x) + --------|*sec(x)
|           3       x              x                                       2   |       
\          x                                                              x    /       
---------------------------------------------------------------------------------------
                                           x                                           

$$\frac{1}{x} \left(5 \left(\tan^{2}{\left (x \right )} + 1\right) \tan{\left (x \right )} + \tan^{3}{\left (x \right )} - \frac{1}{x} \left(3 \tan^{2}{\left (x \right )} + 3\right) - \frac{3}{x} \tan^{2}{\left (x \right )} + \frac{6}{x^{2}} \tan{\left (x \right )} - \frac{6}{x^{3}}\right) \sec{\left (x \right )}$$