Производная (sec(x))*sqrt(x)

Вы ввели

         ___
sec(x)*\/ x 

$$\sqrt{x} \sec{\left (x \right )}$$

Подробное решение

1. Применяем правило производной умножения:

   $\frac{d}{d x}\left(f{\left (x \right )} g{\left (x \right )}\right) = f{\left (x \right )} \frac{d}{d x} g{\left (x \right )} + g{\left (x \right )} \frac{d}{d x} f{\left (x \right )}$

   $f{\left (x \right )} = \sec{\left (x \right )}$; найдём $\frac{d}{d x} f{\left (x \right )}$:

   1. Есть несколько способов вычислить эту производную.

      Один из способов:

      1. Производная секанса есть секанс, умноженный на тангенс:

         $\frac{d}{d x} \sec{\left (x \right )} = \tan{\left (x \right )} \sec{\left (x \right )}$

   $g{\left (x \right )} = \sqrt{x}$; найдём $\frac{d}{d x} g{\left (x \right )}$:

   1. В силу правила, применим: $\sqrt{x}$ получим $\frac{1}{2 \sqrt{x}}$

   В результате: $\frac{\sqrt{x} \sin{\left (x \right )}}{\cos^{2}{\left (x \right )}} + \frac{\sec{\left (x \right )}}{2 \sqrt{x}}$

2. Теперь упростим:

   $\frac{1}{\sqrt{x} \cos^{2}{\left (x \right )}} \left(x \sin{\left (x \right )} + \frac{1}{2} \cos{\left (x \right )}\right)$

---

Ответ:

$\frac{1}{\sqrt{x} \cos^{2}{\left (x \right )}} \left(x \sin{\left (x \right )} + \frac{1}{2} \cos{\left (x \right )}\right)$

Первая производная

 sec(x)     ___              
------- + \/ x *sec(x)*tan(x)
    ___                      
2*\/ x                       

$$\sqrt{x} \tan{\left (x \right )} \sec{\left (x \right )} + \frac{\sec{\left (x \right )}}{2 \sqrt{x}}$$

Вторая производная

/    1        ___    2        ___ /       2   \   tan(x)\       
|- ------ + \/ x *tan (x) + \/ x *\1 + tan (x)/ + ------|*sec(x)
|     3/2                                           ___ |       
\  4*x                                            \/ x  /       

$$\left(\sqrt{x} \left(\tan^{2}{\left (x \right )} + 1\right) + \sqrt{x} \tan^{2}{\left (x \right )} + \frac{1}{\sqrt{x}} \tan{\left (x \right )} - \frac{1}{4 x^{\frac{3}{2}}}\right) \sec{\left (x \right )}$$

Третья производная

/                                         2        /       2   \                               \       
|  3        ___    3      3*tan(x)   3*tan (x)   3*\1 + tan (x)/       ___ /       2   \       |       
|------ + \/ x *tan (x) - -------- + --------- + --------------- + 5*\/ x *\1 + tan (x)/*tan(x)|*sec(x)
|   5/2                       3/2         ___            ___                                   |       
\8*x                       4*x        2*\/ x         2*\/ x                                    /       

$$\left(5 \sqrt{x} \left(\tan^{2}{\left (x \right )} + 1\right) \tan{\left (x \right )} + \sqrt{x} \tan^{3}{\left (x \right )} + \frac{1}{2 \sqrt{x}} \left(3 \tan^{2}{\left (x \right )} + 3\right) + \frac{3}{2 \sqrt{x}} \tan^{2}{\left (x \right )} - \frac{3}{4 x^{\frac{3}{2}}} \tan{\left (x \right )} + \frac{3}{8 x^{\frac{5}{2}}}\right) \sec{\left (x \right )}$$