Производная 7^sin(x)/x

Вы ввели

 sin(x)
7      
-------
   x   

$$\frac{1}{x} 7^{\sin{\left (x \right )}}$$

Подробное решение

1. Применим правило производной частного:

   $\frac{d}{d x}\left(\frac{f{\left (x \right )}}{g{\left (x \right )}}\right) = \frac{1}{g^{2}{\left (x \right )}} \left(- f{\left (x \right )} \frac{d}{d x} g{\left (x \right )} + g{\left (x \right )} \frac{d}{d x} f{\left (x \right )}\right)$

   $f{\left (x \right )} = 7^{\sin{\left (x \right )}}$ и $g{\left (x \right )} = x$.

   Чтобы найти $\frac{d}{d x} f{\left (x \right )}$:

   1. Заменим $u = \sin{\left (x \right )}$.

   2. $\frac{d}{d u} 7^{u} = 7^{u} \log{\left (7 \right )}$

   3. Затем примените цепочку правил. Умножим на $\frac{d}{d x} \sin{\left (x \right )}$:

      1. Производная синуса есть косинус:

         $\frac{d}{d x} \sin{\left (x \right )} = \cos{\left (x \right )}$

      В результате последовательности правил:

      $7^{\sin{\left (x \right )}} \log{\left (7 \right )} \cos{\left (x \right )}$

   Чтобы найти $\frac{d}{d x} g{\left (x \right )}$:

   1. В силу правила, применим: $x$ получим $1$

   Теперь применим правило производной деления:

   $\frac{1}{x^{2}} \left(7^{\sin{\left (x \right )}} x \log{\left (7 \right )} \cos{\left (x \right )} - 7^{\sin{\left (x \right )}}\right)$

2. Теперь упростим:

   $\frac{1}{x^{2}} 7^{\sin{\left (x \right )}} \left(x \log{\left (7 \right )} \cos{\left (x \right )} - 1\right)$

---

Ответ:

$\frac{1}{x^{2}} 7^{\sin{\left (x \right )}} \left(x \log{\left (7 \right )} \cos{\left (x \right )} - 1\right)$

Первая производная

   sin(x)    sin(x)              
  7         7      *cos(x)*log(7)
- ------- + ---------------------
      2               x          
     x                           

$$\frac{1}{x} 7^{\sin{\left (x \right )}} \log{\left (7 \right )} \cos{\left (x \right )} - \frac{1}{x^{2}} 7^{\sin{\left (x \right )}}$$

Вторая производная

 sin(x) /2       2       2                      2*cos(x)*log(7)\
7      *|-- + cos (x)*log (7) - log(7)*sin(x) - ---------------|
        | 2                                            x       |
        \x                                                     /
----------------------------------------------------------------
                               x                                

$$\frac{1}{x} 7^{\sin{\left (x \right )}} \left(- \log{\left (7 \right )} \sin{\left (x \right )} + \log^{2}{\left (7 \right )} \cos^{2}{\left (x \right )} - \frac{2}{x} \log{\left (7 \right )} \cos{\left (x \right )} + \frac{2}{x^{2}}\right)$$

Третья производная

        /                                              2       2                                                                 \
 sin(x) |  6       3       3                      3*cos (x)*log (7)        2                    3*log(7)*sin(x)   6*cos(x)*log(7)|
7      *|- -- + cos (x)*log (7) - cos(x)*log(7) - ----------------- - 3*log (7)*cos(x)*sin(x) + --------------- + ---------------|
        |   3                                             x                                            x                  2      |
        \  x                                                                                                             x       /
----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
                                                                x                                                                 

$$\frac{1}{x} 7^{\sin{\left (x \right )}} \left(- 3 \log^{2}{\left (7 \right )} \sin{\left (x \right )} \cos{\left (x \right )} + \log^{3}{\left (7 \right )} \cos^{3}{\left (x \right )} - \log{\left (7 \right )} \cos{\left (x \right )} + \frac{3}{x} \log{\left (7 \right )} \sin{\left (x \right )} - \frac{3}{x} \log^{2}{\left (7 \right )} \cos^{2}{\left (x \right )} + \frac{6}{x^{2}} \log{\left (7 \right )} \cos{\left (x \right )} - \frac{6}{x^{3}}\right)$$