Производная 16/(x*(x-4))

Вы ввели

    16   
---------
x*(x - 4)

$$\frac{16}{x \left(x - 4\right)}$$

Подробное решение

1. Производная произведения константы на функцию есть произведение этой константы на производную данной функции.

   1. Заменим $u = x \left(x - 4\right)$.

   2. В силу правила, применим: $\frac{1}{u}$ получим $- \frac{1}{u^{2}}$

   3. Затем примените цепочку правил. Умножим на $\frac{d}{d x}\left(x \left(x - 4\right)\right)$:

      1. Применяем правило производной умножения:

         $\frac{d}{d x}\left(f{\left (x \right )} g{\left (x \right )}\right) = f{\left (x \right )} \frac{d}{d x} g{\left (x \right )} + g{\left (x \right )} \frac{d}{d x} f{\left (x \right )}$

         $f{\left (x \right )} = x$; найдём $\frac{d}{d x} f{\left (x \right )}$:

         1. В силу правила, применим: $x$ получим $1$

         $g{\left (x \right )} = x - 4$; найдём $\frac{d}{d x} g{\left (x \right )}$:

         1. дифференцируем $x - 4$ почленно:

            1. В силу правила, применим: $x$ получим $1$

            2. Производная постоянной $-4$ равна нулю.

            В результате: $1$

         В результате: $2 x - 4$

      В результате последовательности правил:

      $- \frac{2 x - 4}{x^{2} \left(x - 4\right)^{2}}$

   Таким образом, в результате: $- \frac{32 x - 64}{x^{2} \left(x - 4\right)^{2}}$

2. Теперь упростим:

   $\frac{- 32 x + 64}{x^{2} \left(x - 4\right)^{2}}$

---

Ответ:

$\frac{- 32 x + 64}{x^{2} \left(x - 4\right)^{2}}$

Первая производная

16*(4 - 2*x)
------------
 2        2 
x *(x - 4)  

$$\frac{- 32 x + 64}{x^{2} \left(x - 4\right)^{2}}$$

Вторая производная

   /     2*(-2 + x)   2*(-2 + x)\
32*|-1 + ---------- + ----------|
   \         x          -4 + x  /
---------------------------------
            2         2          
           x *(-4 + x)           

$$\frac{1}{x^{2} \left(x - 4\right)^{2}} \left(-32 + \frac{64 x - 128}{x - 4} + \frac{1}{x} \left(64 x - 128\right)\right)$$

Третья производная

   /2     2      3*(-2 + x)   3*(-2 + x)   4*(-2 + x)\
64*|- + ------ - ---------- - ---------- - ----------|
   |x   -4 + x        2               2    x*(-4 + x)|
   \                 x        (-4 + x)               /
------------------------------------------------------
                      2         2                     
                     x *(-4 + x)                      

$$\frac{1}{x^{2} \left(x - 4\right)^{2}} \left(\frac{128}{x - 4} - \frac{192 x - 384}{\left(x - 4\right)^{2}} + \frac{128}{x} - \frac{256 x - 512}{x \left(x - 4\right)} - \frac{1}{x^{2}} \left(192 x - 384\right)\right)$$