Производная 16*sin(0.25*pi*t)

Вы ввели

      /pi*t\
16*sin|----|
      \ 4  /

$$16 \sin{\left(\frac{\pi t}{4} \right)}$$

d /      /pi*t\\
--|16*sin|----||
dt\      \ 4  //

$$\frac{d}{d t} 16 \sin{\left(\frac{\pi t}{4} \right)}$$

Подробное решение

1. Производная произведения константы на функцию есть произведение этой константы на производную данной функции.

   1. Заменим $u = \frac{\pi t}{4}$.

   2. Производная синуса есть косинус:

      $\frac{d}{d u} \sin{\left(u \right)} = \cos{\left(u \right)}$

   3. Затем примените цепочку правил. Умножим на $\frac{d}{d t} \frac{\pi t}{4}$:

      1. Производная произведения константы на функцию есть произведение этой константы на производную данной функции.

         1. В силу правила, применим: $t$ получим $1$

         Таким образом, в результате: $\frac{\pi}{4}$

      В результате последовательности правил:

      $\frac{\pi \cos{\left(\frac{\pi t}{4} \right)}}{4}$

   Таким образом, в результате: $4 \pi \cos{\left(\frac{\pi t}{4} \right)}$

---

Ответ:

$4 \pi \cos{\left(\frac{\pi t}{4} \right)}$

Первая производная

        /pi*t\
4*pi*cos|----|
        \ 4  /

$$4 \pi \cos{\left(\frac{\pi t}{4} \right)}$$

Вторая производная

   2    /pi*t\
-pi *sin|----|
        \ 4  /

$$- \pi^{2} \sin{\left(\frac{\pi t}{4} \right)}$$

Третья производная

   3    /pi*t\ 
-pi *cos|----| 
        \ 4  / 
---------------
       4       

$$- \frac{\pi^{3} \cos{\left(\frac{\pi t}{4} \right)}}{4}$$

График