Производная sin(a/x)

Вы ввели

   /a\
sin|-|
   \x/

$$\sin{\left (\frac{a}{x} \right )}$$

Подробное решение

1. Заменим $u = \frac{a}{x}$.

2. Производная синуса есть косинус:

   $\frac{d}{d u} \sin{\left (u \right )} = \cos{\left (u \right )}$

3. Затем примените цепочку правил. Умножим на $\frac{\partial}{\partial x}\left(\frac{a}{x}\right)$:

   1. Производная произведения константы на функцию есть произведение этой константы на производную данной функции.

      1. В силу правила, применим: $\frac{1}{x}$ получим $- \frac{1}{x^{2}}$

      Таким образом, в результате: $- \frac{a}{x^{2}}$

   В результате последовательности правил:

   $- \frac{a}{x^{2}} \cos{\left (\frac{a}{x} \right )}$

---

Ответ:

$- \frac{a}{x^{2}} \cos{\left (\frac{a}{x} \right )}$

Первая производная

      /a\ 
-a*cos|-| 
      \x/ 
----------
     2    
    x     

$$- \frac{a}{x^{2}} \cos{\left (\frac{a}{x} \right )}$$

Вторая производная

  /                /a\\
  |           a*sin|-||
  |     /a\        \x/|
a*|2*cos|-| - --------|
  \     \x/      x    /
-----------------------
            3          
           x           

$$\frac{a}{x^{3}} \left(- \frac{a}{x} \sin{\left (\frac{a}{x} \right )} + 2 \cos{\left (\frac{a}{x} \right )}\right)$$

Третья производная

  /              2    /a\          /a\\
  |             a *cos|-|   6*a*sin|-||
  |       /a\         \x/          \x/|
a*|- 6*cos|-| + --------- + ----------|
  |       \x/        2          x     |
  \                 x                 /
---------------------------------------
                    4                  
                   x                   

$$\frac{a}{x^{4}} \left(\frac{a^{2}}{x^{2}} \cos{\left (\frac{a}{x} \right )} + \frac{6 a}{x} \sin{\left (\frac{a}{x} \right )} - 6 \cos{\left (\frac{a}{x} \right )}\right)$$