Производная sin(a*x)/x

Вы ввели

sin(a*x)
--------
   x    

$$\frac{1}{x} \sin{\left (a x \right )}$$

Подробное решение

1. Применим правило производной частного:

   $\frac{d}{d x}\left(\frac{f{\left (x \right )}}{g{\left (x \right )}}\right) = \frac{1}{g^{2}{\left (x \right )}} \left(- f{\left (x \right )} \frac{d}{d x} g{\left (x \right )} + g{\left (x \right )} \frac{d}{d x} f{\left (x \right )}\right)$

   $f{\left (x \right )} = \sin{\left (a x \right )}$ и $g{\left (x \right )} = x$.

   Чтобы найти $\frac{d}{d x} f{\left (x \right )}$:

   1. Заменим $u = a x$.

   2. Производная синуса есть косинус:

      $\frac{d}{d u} \sin{\left (u \right )} = \cos{\left (u \right )}$

   3. Затем примените цепочку правил. Умножим на $\frac{\partial}{\partial x}\left(a x\right)$:

      1. Производная произведения константы на функцию есть произведение этой константы на производную данной функции.

         1. В силу правила, применим: $x$ получим $1$

         Таким образом, в результате: $a$

      В результате последовательности правил:

      $a \cos{\left (a x \right )}$

   Чтобы найти $\frac{d}{d x} g{\left (x \right )}$:

   1. В силу правила, применим: $x$ получим $1$

   Теперь применим правило производной деления:

   $\frac{1}{x^{2}} \left(a x \cos{\left (a x \right )} - \sin{\left (a x \right )}\right)$

---

Ответ:

$\frac{1}{x^{2}} \left(a x \cos{\left (a x \right )} - \sin{\left (a x \right )}\right)$

Первая производная

  sin(a*x)   a*cos(a*x)
- -------- + ----------
      2          x     
     x                 

$$\frac{a}{x} \cos{\left (a x \right )} - \frac{1}{x^{2}} \sin{\left (a x \right )}$$

Вторая производная

   2            2*sin(a*x)   2*a*cos(a*x)
- a *sin(a*x) + ---------- - ------------
                     2            x      
                    x                    
-----------------------------------------
                    x                    

$$\frac{1}{x} \left(- a^{2} \sin{\left (a x \right )} - \frac{2 a}{x} \cos{\left (a x \right )} + \frac{2}{x^{2}} \sin{\left (a x \right )}\right)$$

Третья производная

                                2                        
   3            6*sin(a*x)   3*a *sin(a*x)   6*a*cos(a*x)
- a *cos(a*x) - ---------- + ------------- + ------------
                     3             x               2     
                    x                             x      
---------------------------------------------------------
                            x                            

$$\frac{1}{x} \left(- a^{3} \cos{\left (a x \right )} + \frac{3 a^{2}}{x} \sin{\left (a x \right )} + \frac{6 a}{x^{2}} \cos{\left (a x \right )} - \frac{6}{x^{3}} \sin{\left (a x \right )}\right)$$