Производная sin(pi/x)

Вы ввели

   /pi\
sin|--|
   \x /

$$\sin{\left(\frac{\pi}{x} \right)}$$

d /   /pi\\
--|sin|--||
dx\   \x //

$$\frac{d}{d x} \sin{\left(\frac{\pi}{x} \right)}$$

Подробное решение

1. Заменим $u = \frac{\pi}{x}$.

2. Производная синуса есть косинус:

   $\frac{d}{d u} \sin{\left(u \right)} = \cos{\left(u \right)}$

3. Затем примените цепочку правил. Умножим на $\frac{d}{d x} \frac{\pi}{x}$:

   1. Производная произведения константы на функцию есть произведение этой константы на производную данной функции.

      1. В силу правила, применим: $\frac{1}{x}$ получим $- \frac{1}{x^{2}}$

      Таким образом, в результате: $- \frac{\pi}{x^{2}}$

   В результате последовательности правил:

   $- \frac{\pi \cos{\left(\frac{\pi}{x} \right)}}{x^{2}}$

---

Ответ:

$- \frac{\pi \cos{\left(\frac{\pi}{x} \right)}}{x^{2}}$

Первая производная

       /pi\ 
-pi*cos|--| 
       \x / 
------------
      2     
     x      

$$- \frac{\pi \cos{\left(\frac{\pi}{x} \right)}}{x^{2}}$$

Вторая производная

   /                  /pi\\
   |            pi*sin|--||
   |     /pi\         \x /|
pi*|2*cos|--| - ----------|
   \     \x /       x     /
---------------------------
              3            
             x             

$$\frac{\pi \left(2 \cos{\left(\frac{\pi}{x} \right)} - \frac{\pi \sin{\left(\frac{\pi}{x} \right)}}{x}\right)}{x^{3}}$$

Третья производная

   /                2    /pi\           /pi\\
   |              pi *cos|--|   6*pi*sin|--||
   |       /pi\          \x /           \x /|
pi*|- 6*cos|--| + ----------- + ------------|
   |       \x /         2            x      |
   \                   x                    /
---------------------------------------------
                       4                     
                      x                      

$$\frac{\pi \left(- 6 \cos{\left(\frac{\pi}{x} \right)} + \frac{6 \pi \sin{\left(\frac{\pi}{x} \right)}}{x} + \frac{\pi^{2} \cos{\left(\frac{\pi}{x} \right)}}{x^{2}}\right)}{x^{4}}$$

График